- •Методика обучения алгебре основной школы
- •Рецензент:
- •Содержание
- •Введение
- •Тема1. Содержание и задачи обучения алгебре в основной школе. Характеристика альтернативных учебников
- •1.1. Алгебра как наука и алгебра как учебный предмет
- •1.2. Цели преподавания и содержание курса алгебры основной школы
- •1.3. Характеристика альтернативных учебников математики основной школы
- •1.3.1. Школьное математическое образование и учебник математики
- •1.3.2. Концептуальные основы альтернативных учебников
- •Тема 2. Воспитание вычислительной культуры учащихся
- •Тема 3. Методика изучения числовых систем
- •3.1. Различные подходы к введению числовых множеств
- •3.2. Множество натуральных чисел
- •3.3. Методика изучения дробных чисел
- •3.3.1. Обыкновенные дроби
- •3.3.2. Методика изучения десятичных дробей
- •3.4. Методика изучения целых чисел
- •3.5. Действительные числа
- •Тема 4. Методика изучения тождественных преобразований
- •4.1. Роль и место тождественных преобразований в школьном курсе математики. Пропедевтика тождественных преобразований в 5 - 6 классах
- •4.2. Определения понятий «тождество» и «тождественное преобразование»
- •4.3. Процесс формирования навыков тождественных преобразований
- •4.4. Доказательство тождеств
- •Тема 5. Методика изучения уравнений в основной школе
- •5.1. Различные трактовки общего понятия «уравнение»
- •5.2. Процесс решения уравнения
- •5.3. Основные этапы изучения уравнений в основной школе
- •Тема 6. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы
- •6.1. Пропедевтический этап (1 – 6 кл.)
- •6.2. Основной этап (Алгебра 7 – 9 кл.)
- •Тема 7. Методика изучения функций в курсе алгебры основной школы
- •7.1. Определение функции в школьных учебниках
- •7.2. Проблемы, возникающие при изучении темы «Функция»
- •7.3.Основные знания, формируемые при изучении темы «Функция»
- •7.4. Введение понятия «Линейная функция»
- •7.5. Методика изучения квадратичной функции
- •7.5.1. Определение квадратичной функции и ее свойства
- •7.5.2.Методические замечания к изучению темы «Квадратичная функция»
- •150000, Ярославль. Республиканская ул., 108
- •150000, Ярославль, Которосльная наб., 44
Тема 4. Методика изучения тождественных преобразований
4.1. Роль и место тождественных преобразований в школьном курсе математики. Пропедевтика тождественных преобразований в 5 - 6 классах
Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основе формируются представления об аналитических методах математики. Как правило, решение каждой математической задачи аналитическим методом предполагает выполнение некоторых тождественных преобразований.
Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса арифметики, алгебры и начал анализа. Без них не обходятся и на уроках геометрии.
Изучение темы имеет как самостоятельное, так и прикладное значение. Материал линии связан
- с обобщением операций над числами;
- проведением вычислений в общем виде;
- обучением использования буквенной символики в математике и ее приложениях.
Существует два подхода к изучению линии тождеств: алгебраический и функциональный.
Алгебраический подход. Больше внимания уделяется букве и операциям над буквенными выражениями. На выражение смотрят формально, не задумываясь над тем, что скрывается под буквами. Все преобразования опираются на правила действий и свойства действий.
Функциональный подход. Входящие в выражения буквы понимаются как переменные, а тождественные преобразования опираются на условие равенства функций (равенство значений функций при всех допустимых значениях переменной).
Понятие о тождественных преобразованиях закладывается в сознание ученика уже в 5 классе, хотя, согласно программе, термины «тождество» и «тождественное преобразование» еще не введены. В 5-м классе даются задания, в которых рассматриваются некоторые преобразования числовых выражений и выражений, содержащих переменные; тождественные преобразования, выполняемые на основе свойств арифметических действий. Учащиеся знакомятся с первыми основными тождествами (например, ab = ba, a(b+c) = ab + ас и др.), а затем применяют их при решении следующих видов упражнений:
1.Найти значение выражения: 977*43+43*23 = 43*(977+23)
2. При каких значениях переменной истинны равенства:
3(х+5) = Зх +15; (7+х)5 = 7*5+х*5?
3.Выполнить действия 129*70 = (130-1)*70 = 9100 - 70
4.Сократить дробь 9/129 = 9/3*43 = 3/43.
Используя такого рода упражнения, мы не просто подготавливаем учащихся к введению понятия тождественного преобразования, но и готовим их к осознанию целесообразности тех или иных преобразований.
В 6-м классе дается понятие коэффициента, учащиеся знакомятся с выражениями вида: 2а, -ab, -Заb, то есть фактически постигают понятие одночлена, хотя термин «одночлен» не вводится. Приведение подобных слагаемых рассматривается как пример применения распределительного свойства к сумме произведений с одинаковыми буквенными множителями: За + 4b + 2а = а(3+2) + 4b = 5а + 4b.
4.2. Определения понятий «тождество» и «тождественное преобразование»
Первое определение тождества дается в 7-м классе.
Определение Равенство, верное при любых значениях переменной, называется тождеством.
Данное определение компактно и хорошо, когда учащиеся работают с целыми рациональными выражениями. Так равенства вида а2 /а = а или не подходят под это определение, поэтому его необходимо уточнить, и в 8-м классе в теме «Рациональные дроби» дается уже другоеопределение: Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных.
Наиболее общим является следующее определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, принадлежащих некоторому множеству , называется тождеством на этом множестве.
Данное определение раскрывает суть тождества с теоретико-функциональной точки зрения.
Например, (а+в)2 = а2+2ав+в2 - тождество на R;
- тождество на R+;
- тождество при х>0
Некоторые тождества выбираются как основные, с их помощью доказываются остальные тождества и рассматриваются свойства операций, истинность которых принимается в качестве аксиом (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, существование противоположного элемента и др.)
Различают понятия:
Тождества-равенства (формулы сокращенного умножения, свойства степени с натуральным показателем и др.)
Тождества-действия (вынесение общего множителя за скобку, приведение подобных слагаемых и др.) или тождественные преобразования.
Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.
К тождественным преобразованиям можно отнести, например, приведение подобных слагаемых, разложение на множители, сокращение дробей и так далее.