Уравнение Лапласа.

Многие стационарные задачи (течение несжимаемой жидкости, задачи теплопроводности и диффузии в стационарных случаях, форма нагруженной мембраны) сводятся к решению уравнения Пуассона: , то получаем уравнение Лапласа: .

Для простоты рассмотрим двумерное уравнение Лапласа:

Пусть область изменения - ограничена замкнутой линией . Граничное условие на границе зададим в виде: .

Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области – называется задачей Дирихле.

Для простоты примем заданную область в виде прямоугольника.

	Нанесем сетку с одинаковым шагом по . Значения в узлах значениями сеточной функции . Тогда используя конечно-разностную аппроксимацию и используя пятиточечный шаблон Эту схему можно записать в виде:

Значения сеточной функции в узлах на границе могут быть найдены из граничного условия:

В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива.

Одним наиболее распространенным методом решения такой системы является итерационный метод.

Каждое из уравнений запишем в виде, разрешенным относительно значения в центральном узле.

В представленном алгоритме предусмотрено задание начальных значений . Иногда полагают . Итерации заканчиваются, когда значения сеточной функции в узлах на последовательных итерациях отличаются на заданную величину.

Аппроксимация начального условия в виде: ухудшает аппроксимацию, так как она имеет первый порядок погрешности. И общая погрешность становится . Положение можно исправить, если задать более точную аппроксимацию, чем:

Вместо а вместо

то есть, используем основное уравнение, тогда:

Метод Хокии численного решения уравнения Пуассона

В общем случае решение эллиптических уравнений, к которым относится уравнение Пуассона, представляет значительные трудности и требует длительного времени.

Однако, свойство симметрии уравнения Пуассона, которое является следствием оператора Лапласа, позволяет свести решение многомерного уравнения к раздельному решению одномерных задач. Метод Хокии в своей простейшей форме применяет преобразование Фурье на одной пространственной координате, в результате относительной другой координаты остаются несвязанные трехдиагональные матричные условия, которые легко решить, в частности методом прогонки (или циклической редукции).

Итак, рассмотрим уравнение Пуассона: , которое нужно решить для прямоугольной области D, на которую наложена сетка с шагом .

1) Если периодические условия, то и по 2) Если на границах нулевые значения или постоянные значения, то разложение по В качестве примера выберем граничные условия, задающие постоянный потенциал на концах каждого столбца: опустим: С как с граничными условиями на краях – тоже нулевые граничные условия и тогда ис______ разложение по . Считается, что в некоторых узлах в некотором множестве узлов, известны значения . То есть, если было разбито непрерывно по узлам, мы собираем узлы (так делают, например, в задачах, где - это некоторый заряд в пространстве).

А можно брать в узлах именно те значения, которые непрерывная функция принимает в узлах .

При этом надо иметь ввиду, что:

Подставив это в разностное уравнение, получим:

Рассмотрим два члена, их можно представить так:

И тогда наше уравнение имеет вид:

Чтобы равенство выполнялось при любых , то есть, в каждой точке в этих уравнениях можно приравнять к нулю отдельно амплитуду каждой ____________ __________.

Мы должны приравнять к нулю, что дает:

Таким образом, для каждого мы получим трехдиагональное матричное уравнение.

При этом .

Иными словами мы получили для каждого одномерное уравнение, которое можно решить методом прогонки.

После решения всех трехдиагональных уравнений мы получим значения . Потенциал в каждой узловой точке определяется суммой ряда Фурье:

Этот метод заключается в разложении Фурье по одной из независимых переменных (у нас по ) и последующей прогонке по другой переменной и требует выполнения примерно - является быстродействующим.____________________