Лабораторное задание 5

Задание 5.

Интерполирование и экстраполирование функций.

Вычисление значений функции с использованием интерполяционных формул Гаусса, Стирлинга, Бесселя.

Цель задания.

Изучение методов интерполяции и экстраполяции функции.

Содержание задания.

1. Изучение методов интерполяции и экстраполяции функции.

2. Составление программы и ее отладка.

Постановка задачи.

Используя интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя, вычислить приближенные значения функции y (x) при данных значениях аргумента:

1) x = 1,60 + 0,006n;

2) x = 1,725 + 0,002n;

3) x = 1,83 + 0,003n;

4) x = 2 - 0,013n;

( n = 1, 2, 3,..., 30 )

Функция f (x) задана таблицей:

x y ( x)

1,50 15,132

1,55 17,422

1,60 20,393

1,65 23,994

1,70 28,160

1,75 32,812

1,80 37,857

1,85 43,189

1,90 48,689

1,95 54,225

2,00 59,653

2,05 64,817

2,10 69,550

________________________________________________________________

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

x y ( x)

0,12 6,278

0,14 6,405 Найти значения функции y = f (x)

0,16 6,487 при следующих значениях

0,18 6,505 аргумента:

0,20 6,436 1) x = 0,168; 2) x = 0,192;

0,22 6,259 3) x = 0,204; 4) x = 0,175.

0,24 5,954

________________________________________________________________

Составим диагональную таблицу конечных разностей функции f (x):

x _i y (x _i ) y _i ² y _i ³ y _i

x _-3 = 0,12 y _-3 = 6,278

x _-2 = 0,14 y _-2 = 6,404 126 -43

x _-1 = 0,16 y _-1 = 6,487 83 -65 -22

x ₀ = 0,18 y ₀ = 6,505 18 -87 -22

-69 -21

x ₁ = 0,20 y ₁ = 6,436 -108

x ₂ = 0,22 y ₂ = 6,259 -177 -128 -20

x ₃ = 0,24 y ₃ = 5,954 -305

Таблица заканчивается разностями третьего порядка, так как они являются практически постоянными.

1) Для определения значения у (0,168) примем x ₀ = 0,16 ; тогда

t = (x - x ₀) / h = (0,168 - 0,16) / 0,02 = 0,4.

Воспользуемся первой формулой Гаусса:

t (t - 1) (t +1) t (t - 1)

y (x ) ~ p (x) = y ₀ + t y ₀ + ^{_________ 2} y _-1 + ^{__________________ 3} y _-1 .

2! 3!

Находим:

0,4 (-0,6) 1,4 ^. (-0,6) ^. 0,4

y (0,168 ) ~ 6,487 + 0,4^. 0,018 + ^____________ (-0,065) + ^{___________________} (-0,022) ~

2 6

~6,487 +0,0072 +0,0078 + 0,0012 = 6,5032 ~ 6,503.

2) Для определения значения у (0,192) примем x ₀ = 0,18 ; тогда

t = (0,192 - 0,18) / 0,02 = 0,6.

Воспользуемся формулой Бесселя:

y ₀ + y _-1 t (t - 1) ² y _-1 + ² y ₀

y (x ) ~ p (x) = ^__________ + (t - 1/2) y ₀ + ^{_________ . __________________} +

2 2! 2

(t -1/2) t (t -1)

+ ^{___________________ 3} y _-1 + ... .

3!

Находим:

6,505 +6,436 0,6 (-0,4) -0,087 - 0,108

y (0,192 ) ~ ^{_________________} + (0,6 -0,5)(-0,069) + ^{____________ . ___________________} +

2 2 2

(0,6 -0,5) 0,6 (-0,4)

+ ^{_________________________} (-0,021) ~6,4705 - 0,0069 +0,0117 +0,0001 ~ 6,475 .

6

3) Для определения значения у (0,204) примем x ₀ = 0,20 ; тогда

t = (0,204 - 0,20) / 0,02 = 0,2.

Воспользуемся формулой Стирлинга:

y _-1 + y ₀ t (t ² - 1) ³ y _-2 + ² y _-1

y (x ) ~ p (x) = y ₀ + t ^{_______________} + t /2 ² y _-1 + ^{___________ . ___________________ .}

2 6 2

Находим:

-0,069 -0,117 0,04 0,2 (0,04-1)(-0,021-0,02)

y (0,204) ~ 6,436 +0,2 ^{. ________________} + ^____ (-0,108) + ^{______________________________} ~

2 2 12

~ 6,436 - 0,0246 - 0,0022 +0,0007 = 6,4099 ~6,410 .

4) Для определения значения у (0,175) примем x ₀ = 0,18 ; тогда

t = (0,175 - 0,18) / 0,02 = 0,25.

Воспользуемся второй формулой Гаусса:

t (t + 1) (t +1) t (t - 1)

y (x ) ~ p (x) = y ₀ + t y _-1 + ^{_________ 2} y _{- 1} + ^{__________________ 3} y _{- 2} .

2! 3!

Находим:

0,75 (-0,25) 0,75 (-0,25)(-1,25)

y (0,175) ~ 6,505 +0,018 (-0,25) +^{______________} (-0,087) + ^{______________________} (-0,022) ~

2 6

~ 6,505 - 0,0045 + 0,0082 - 0,0009 = 6,5078 ~ 6,508 .

Литература.

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш.шк.,2005.

2. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.:БХВ-Петербург, 2004.

3. Гусак А.А. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 2004.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.,2005.

5. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MATLAB 7 программирование, численные методы. БХВ-Петербург, 2005.