Квантовая МЕХАНИКА
.pdf
за пределами «ямы» ψ(0) = ψ(l) =0.
В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ l) уравнение Шредингера сведется к уравнению:
2 2m E 0
x2 2
|
|
n |
2 |
|
2 |
|
2 |
энергия |
Еn |
частицы |
в |
|
En |
|
|
|
|
«потенциальной яме» с бесконечно |
|||||||
2ml |
2 |
|
высокими |
«стенками» принимает |
||||||||
|
|
|
|
определенные |
дискретные |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
значения, т.е. квантуется.
Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии; число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом.
собственные функции:
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(x) |
2 |
|
sin |
x |
||
n |
|
|
||||||
|
|
|
l |
|
|
l |
||
|
|
|
|
|
|
|||
n = 1,2,3,…
E |
|
E |
|
E |
|
|
2 |
2 |
(2n 1) |
2 |
2 |
n |
|
n |
n 1 |
n |
2ml |
2 |
2ml 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Emin 2 2
2ml 2
принцип соответствия Бора:
законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел должны переходить в законы классической физики.
Распределение плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками для состояний с различными
значениями главного квантового числа n представлены на рисунке.
Какова вероятность обнаружить электрон в интервале от l/6 до l/2 при n=3?
Ответ:
1) 1/3; 2) 1/2; 3) 1/6; 4) 2/3.
Прохождение частицы сквозь потенциальный
барьер. Туннельный эффект
Туннельный эффект (туннелирование) - преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда еѐ полная энергия (остающаяся неизменной) меньше высоты барьера.
|
|
|
0, x 0(область1) |
|
|
|
|
|
U (x) U ,0 |
x l(область2) |
|
|
|
|
0, х 1(область3) |
|
|
Классическая частица не может находиться внутри потенциального барьера высоты U, если еѐ полная энергия Е < U, т. к. кинетическая энергия частицы р2/2m=Е-U становится при этом отрицательной, а еѐ импульс р — мнимой величиной (m — масса частицы).
Но для микрочастицы этот вывод несправедлив: вследствие соотношения неопределѐнностей фиксация частицы в пространственной области внутри барьера делает неопределѐнным еѐ импульс. Поэтому имеется отличная от нуля вероятность обнаружить микрочастицу внутри запрещенной, с точки зрения классической механики, области.
Поэтому появляется определѐнная вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер. Эта
вероятность тем больше, чем меньше масса частицы, чем уже потенциальный барьер и чем меньше энергии недостаѐт частице (чем больше энергия частицы), чтобы достичь высоты барьера (т.е. чем меньше разность U — E).
Характеристикой туннельного эффекта служит
коэффициент прозрачности барьера:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
D D |
0 |
exp( |
|
2m(U E)l) |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
где U - высота потенциального барьера, Е - энергия частицы, l - ширина барьера, D0 - постоянный множитель
Чем шире барьер l,
больше масса частицы m,
чем больше разница между (U—E), тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.
Квантовая и классическая частицы с энергией Е, движущиеся слева направо, встречают на своем пути потенциальный барьер высоты U0 и ширины L. Пусть Р есть вероятность преодоления частицей барьера.
правильный ответ:
вероятность |
прохождения |
квантовой |
частицы при |
Е<U0 Р≠0, |
|
а при Е>U0 |
Р<1 |
Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике
Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы.
Потенциальная энергия гармонического |
U |
m 2 x 2 |
|
0 |
|||
|
|
||
осциллятора равна: |
|
2 |
ω0 — собственная частота колебаний осциллятора, т — масса частицы.
|
|
|
xmax |
|
xmax |