Квантовая МЕХАНИКА
.pdfамплитуда вероятности Ψ(х, у, z, t).
волновая функция Ψ (пси-функция)
Вероятность W пропорциональна квадрату модуля волновой функции:
W~│Ψ (х,y,z,t)│2
в квантовой механике состояние микрочастиц описывается с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах.
Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV в момент времени t равна: dW 2 dV
Описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер:
квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и х+dх, y и у+dy, z и z+dz:
W 2 *
Эта величина является экспериментально наблюдаемой, а сама Ψ-функция, будучи комплексной, не доступна наблюдению.
Квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности и определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и х+dх, y и у+dy, z и z+dz.
W=│Ψ│2=ΨΨ*
Физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля │Ψ│2
условие нормировки:
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
dV |
*dV 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ψ-функция должна быть:
конечной (вероятность не может быть больше 1),
однозначной (не может быть неоднозначной
величиной),
неприрывной (не может изменяться скачком).
Общее уравнение Шредингера
|
2 |
U (x, y, z,t) i |
|
|
2m |
t |
|||
|
|
где ħ=h/(2π), т — масса частицы, |
2 |
2 |
2 |
||
∆- оператор Лапласа, |
|
||||
|
x2 |
y 2 z 2 |
|||
i - мнимая единица, |
|||||
|
|
|
|
||
U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,
Ψ(х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.
Уравнение дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:
1)волновая функция должна быть конечной, однозначной
инепрерывной;
2) производные должны быть непрерывны;
|
, |
|
, |
|
, |
|
x |
y |
z |
t |
3)функция │ψ│2 должна быть интегрируема; это условие
впростейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.
рассмотрим свободно движущуюся частицу вдоль оси х
U =0 |
|
2 |
2ψ |
i |
ψ |
|
2m x |
2 |
t |
||||
|
|
|
|
|||
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий:
Екин p2 E U
2m
Стационарные состояния — состояния с фиксированными значениями энергии;
состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени.
функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии.
ψ 2m2 (E U )ψ 0
уравнение Шредингера для стационарных состояний
Особенности решений уравнения Шредингера: имеет решения при дискретных значениях Е полной энергии :
Е1, Е2, …Еn - собственные значения энергии
ψ1, ψ2, … ψn - собственные функции
Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей.
Потенциальная энергия частицы U(x)=const и ее можно принять равной нулю и полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией.
2 2m E 0
x2 2
Энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является
неприрывным.
Все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.
Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»
, x 0, |
|
|
|
|
|
U (x) 0,0 |
x l, |
|
|
|
|
, x 1, |
|
|
|
|
|
где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна
2 2m (E U ) 0
x2 2