Дисперсия

От лат. рассеяние, разброс.

Определение: Дисперсией случайной величины ξ называется мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины от её мат. ожидания.

- для дискретных

- для непрерывных

Определение: Арифметический квадратный корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (стандартным).

Дисперсия характеризует степень разброса случайной величины около своего среднего значения.

Пример 1:

ξ	1	3	5
p	0,1	0,4	0,5
	-2,8	-0,8	1,2
	7,84	0,64	1,44

Пример 2: Равномерное распределение на отрезке [0;1]

Свойства дисперсии

1. Не отрицательность

2. Константа - множитель выносится из под знака дисперсии в квадрате.

Δ

3. 

Δ

4. Если случайные величины ξ и h независимые, то дисперсия суммы этих случайных величин равна сумме дисперсий

Δ

4’. где с = const

5. 

Δ

Математическое ожидание и дисперсия важнейших распределений

• Равномерное распределение на последовательности {1,2,3,…,N}

ξ	1	2	3	…	N
P				…

• Биномиальное распределение

ξ	0	1	2	…	N
P				…

1. Математическое ожидание

2. Введем серию случайных величин число успехов в 1, 2, 3,…, n испытании

ξ	0	1
P	q	p
	0	1

3. Дисперсия

• Распределение Пуассона

ξ	1	2	3	…
p				…

• Геометрическое распределение

ξ	1	2	3	…
p	p	p∙q	p∙q²	…

• Непрерывное равномерное распределение на отрезке

• Показательное распределение

λ – величина обратная математическому ожиданию

Условные законы распределения

h ξ			…
	P11	P12	…	P1m
	P21	P22	…	P2m
…	…	…	…	…	…
	Pn1	Pn2	…	Pnm
			…

Пусть в результате некоторого опыта случайная величина h принимает одно из своих возможных значений , а случайная величина ξ может принять одно из своих значений {Х₁, Х₂, Х₃,…, Х_n}. Условная вероятность того, что случайная величина ξ примет значение Х_i , при условии, что случайная величина h приняла значение равна и называется условным законом распределения случайной величины ξ

Другими словами условным законом распределения случайной величины ξ при значение условным законом распределения случайной величины h= называется совокупность условных вероятностей

Аналогичным образом вводится условное распределение случайной величины h при фиксированном значении

В случае непрерывных случайных величин ξ и h вводится понятие условной плотности распределения случайной величины ξ при заданном значении случайной величины