2.2.2. Метод фазового разделения каналов

При фазовом разделении каналов (ФРК) для каждого номинала несущей частоты ω0 = 2ωmax = 2∆ω нужно употреблять переносчики вида

eCn (t) = 2 cosnω0t ; eSn (t) = 2 sin nω0t .

Тогда групповой двухканальный сигнал для n-й несущей частоты можно представить в виде

s(t)ФРК = 2[aCn (t)cosnω0t + aSn (t)sin nω0t].

Разделение двухканального сигнала на приеме необходимо и здесь осуществлять путем вычисления скалярного произведения группового сигнала и переносчиков, т. е. согласно алгоритмaм

Ортогональность переносчиков обеспечивается за счет фазового сдвига на π/ 2 между ними. Соответственно и все спектральные составляющие канальных сигналов sCn (t), sSn (t) будут сдвинуты друг относительно друга на угол π/ 2 (рис. 2.11).

79

SS (ω)

Рис. 2.11. Формирование спектра системы передачи с ФРК

Структурная схема МСП, реализующая метод ФРК для одной несущей, приведена на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Структурная схема системы передачи с ФРК

Обратите внимание, что при фазовом разделении каналов на каждой несущей nω0 обеспечивается передача двух независимых первичных сигналов aCn (t) и aSn (t) в полосе частот 2∆ω. Следовательно, при одинаковом числе каналов ( N −четном) МСП с фазовым разделением требует в 2 раза меньшую, в сравнении МСП с ЧРК ДБП, полосу ча-

стот, т. е. ∆fФРК = Nfmax . Это обеспечивается тем, что при одной и той же частоте nω0 первичные сигналы aCn (t) и aSn (t) передаются с помощью

ортогональных переносчиков eCn (t) = 2 cosnω0t, eSn (t) = 2 sin nω0t .

80

2.2.3. Метод временного разделения каналов

Основой построения метода временного разделения каналов является теорема Котельникова, в соответствии с которой непрерывный на интервале {−∞,+∞} первичный сигнал a(t)с граничной частотой спектра fmax может быть представлен в форме ряда так называемых отсчет-

Как следует из (2.4), все сведения о передаваемом первичном сигнале a(t) содержатся только в отсчетах a(i∆t) , а базисные функции gi (t) для всех i одинаковы по форме и отличаются друг от друга только сдвигом во времени, поэтому вместо непрерывного сигнала a(t) можно передавать лишь последовательность отсчетов

(где δ(t) −дельта-функция). При этом базисные функции gi (t) должны восстанавливаться на приеме. Из сравнения (2.4) и (2.5) легко заметить, что (2.4) является результатом свертки во времени последовательности отсчетов aд (t) с одной базисной функцией

g(t) = sin 2πfmaxt /(2πfmaxt),

являющейся импульсной характеристикой идеального фильтра нижних частот с полосой пропускания 0... fmax .

81

Сформировать последовательность отсчетов практически невозможно, поэтому обычно умножают первичный сигнал a(t) на периодическую последовательность импульсов конечной длительности (рис. 2.13). В этом случае импульсную последовательность следует считать переносчиком или импульсной несущей.

Если периодическая последовательность (импульсная несущая) состоит из импульсов прямоугольной формы одного знака, то она характеризуется параметрами:

–амплитудой U ;

–длительностью (шириной) τ;

–тактовой частотой fд =1/ ∆t ;

–положением (фазой) импульсов относительно тактовых точек.

В системах передачи с временным разделением каналов сообщения передают, модулируя один из четырех параметров. В зависимости от этого при импульсных видах модуляции может быть:

82

–амплитудно-импульсная модуляция (АИМ);

–широтно-импульсная модуляция (ШИМ);

–частотно-импульсная модуляция (ЧИМ);

–фазово-импульсная модуляция (ФИМ).

Амплитудно-импульсная модуляция. Сигналы амплитудно-импульс- ной модуляции подразделяются на два вида:

–амплитудно-импульсная модуляция первого рода (АИМ-1);

–амплитудно-импульсная модуляция второго рода (АИМ-2).

При АИМ-1 (рис. 2.13) мгновенное значение амплитуды импульсов зависит от мгновенного значения модулирующего колебания, а при АИМ-2 (рис. 2.14) высота импульсов определяется только значением модулирующего колебания в тактовых точках (в точках дискретизации). Различие между сигналами АИМ-1 и АИМ-2 оказывается существенным, если длительность τ сравнима с периодом следования.

Рис. 2.14. Формирование сигнала АИМ-2

83

Формирование сигналов АИМ-1 осуществляется с помощью ключа, управляемого последовательностью импульсов e(t) (рис. 2.15, а).

Если коэффициент передачи ключа в открытом состоянии равен единице, а в закрытом – нулю, то сигнал АИМ-1 можно записать так

s(t)АИМ−I = a(t)e(t),

где e(t) −импульсная несущая с единичной амплитудой.

При этом амплитуды этих импульсов прямо пропорциональны или равны мгновенному значению модулирующего сигнала в точках дискретизации i∆t . Моменты дискретизации могут совпадать с началом импульса, его серединой или концом.

Для импульсов прямоугольной формы АИМ-2 формируется с по-

В момент появления коротких импульсов последовательности e1 (t) открывается ключ Кл. 1, и накопительный конденсатор С заряжается до значения, равного a(i∆t) . Это значение напряжения на конденсаторе С остается до прихода импульсов второй последовательности e2 (t), с помощью которой открывается ключ Кл. 2, и через него разряжается конденсатор С.

При АИМ-2 форма отсчетных импульсов может быть произвольной, например, в виде прямоугольников, треугольников, приподнятого косинуса, вида sin(x) / x и т. п.

84

В общем случае при произвольной форме импульсов в импульсной несущей сигнал АИМ-2 записывается в виде

∞

s(t)АИМ−1 = ∑ a(i∆t)e0(t −i∆t),

i=−∞

∞

где e0 (t) −одиночный импульс последовательности e(t) = ∑e0 (t −i∆t).

i=−∞

Оба вида сигналов АИМ-1 и АИМ-2 могут применяться для построения многоканальных систем передачи с временным разделением каналов. Чтобы судить об эффективности использования методов АИМ необходимо знать полосу частот используемых сигналов.

Спектр сигнала АИМ-1. Спектр сигнала АИМ-1 может быть определен либо с помощью преобразования Фурье, либо с помощью свертки спектров сомножителей:

где a(t) A( jΩ) − спектр первичного сигнала a(t); E( jΩ) − спектр импульсной несущей.

Оба эти метода предполагают детерминированность функций s(t)АИМ−1 или A( jΩ) на всем интервале интегрирования.

Хотя первичный сигнал a(t) является случайной функцией времени, тем не менее, можно предположить, что все спектральные составляющие a(t) находятся в пределах огибающей (шаблона) спектра A(ω) . Тогда спектр первичного сигнала a(t) имеет вид A(ω) (рис. 2.16, верхний график), а спектр сигнала АИМ-1 будет определяться соотношением

где E0 (ω)– спектр одиночного элемента импульсной несущей.

85

модуляции первой гармоники импульсной несущей и первичного сигнала a(t) (рис. 2.16). Эти спектральные составляющие на выходе ФНЧ будут создавать помехи дискретизации.

Таким образом, выделение первичного сигнала из сигнала АИМ-1 без помех дискретизации возможно только при выполнении условий теоремы Котельникова.

На практике различные первичные сигналы, например разговорные, обладают разной шириной спектра ωmax , а частота дискретизации ωд выбирается одинаковой. В связи с этим, для исключения возможности появления помех дискретизации, первичные сигналы вначале ограничиваются по спектру с помощью ФНЧ, а затем производится их дискретизация.

Применительно к организации каналов тональной частоты в системах передачи временного разделения частота дискретизации выбирается равной 8 кГц, а ФНЧ имеет частоту среза 3,4 кГц.

Если нижняя частота спектра сигнала начинается не с нуля, то выбор частоты дискретизации становится неоднозначным. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Выбор частоты дискретизации. Как уже отмечалось, спектр сигнала АИМ содержит спектр исходного сигнала в полосе от нижней частоты ( fН ) до верхней ( fВ ) и боковые полосы около всех гармоник частоты дискретизации. При этом частота дискретизации fД должна быть выбрана так, чтобы боковые полосы частот не пересекались со спектром исходного сигнала. Выполнение этого условия позволит обеспечить отсутствие помех дискретизации при восстановлении исходного непрерывного сигнала с помощью фильтра. Если учитывать только верхнюю частоту fВ в спектре сигнала, то правило выбора fД задается неравенством fД ≥ 2 fВ , которое следует из теоремы Котельникова. В данном случае спектр дискретного сигнала будет иметь вид как на рис. 2.17. Следует обратить внимание на то, что все боковые полосы частот расположены справа от спектра исходного сигнала, а поэтому восстановление может быть выполнено с помощью ФНЧ. Кроме того, как видно из рисунка, условие отсутствия помех дискретизации, которое задается неравенством fД − fВ ≥ fВ , совпадает с правилом выбора fД по Котельникову ( fД ≥ 2 fВ ).

87

fН /( fВ − fН ) ≥1, частота дискретизации может быть выбрана меньше, чем по Котельникову. Это объясняется тем, что при выполнении условия fН /( fВ − fН ) ≥1 часть боковых, каждая из которых занимает полосу шириной ( fВ − fН ) , может быть размещена в полосе от 0 до fН , т. е. слева от спектра исходного сигнала, а остальные боковые – справа (рис. 2.18). Данное обстоятельство как раз и позволяет уменьшить значение fД . При этом, восстановление исходного непрерывного сигнала осуществляется с помощью полосового фильтра (ПФ), а условие отсутствия помех дискретизации, естественно, остается прежним, т. е. боковые полосы частот не должны пересекаться со спектром исходного сигнала.

Формализуем условие выбора частоты дискретизации. Итак, пусть ближайшая боковая полоса частот слева от спектра исходного сигнала получена как нижняя боковая около n-й гармоники частоты дискретизации (рис. 2.18), тогда ближайшая боковая справа будет нижней боковой около (n+1)-й гармоники fД (верхние боковые на рис. 2.18 отсут-

ствуют, поскольку все они, как будет показано далее, располагаются выше частоты fВ и на выбор частоты дискретизации не влияют). В этом случае условия отсутствия искажений дискретизации можно записать в виде неравенств

f

Рис. 2.18. Спектр дискретного сигнала

88

Так как n – номер гармоники, то n – неотрицательное, целое число, т. е. n ≥ 0 , n Ζ.

Переписывая совместно неравенства (2.6) и (2.7), получаем условие выбора частоты дискретизации

Нетрудно видеть, что значение частоты дискретизации, получаемое из (2.8), в (n + 1) раз меньше, чем по Котельникову, а условие fД ≥ 2 fВ является частным случаем (2.8) при n = 0.

Рассмотрим примеры. Пусть дискретизации подвергается речевой сигнал с полосой 0,3–3,4 кГц. Тогда n ≤ fВ f−Н fН = 3,40,3−0,3 = 03,1,3 . Поскольку n <1, то единственное значение n, удовлетворяющее данному неравенству, – это n = 0. Подставляя n = 0 в (2.8), приходим к результату

стоты дискретизации по Котельникову.

89

значения n: n = 0 ; n =1. При n = 0 fД ≥ 2 fВ = 2 108 кГц = 216 кГц, а при n =1 fВ ≤ fД ≤ 2 fН , или 108 кГц≤ fД ≤120 кГц. Таким образом, в данном

случае, существуют два диапазона допустимых значений частоты дискретизации: первый – от 108 до 120 кГц; второй – от 216 кГц и выше.

Используя условие (2.8), определим теоретический минимум частоты дискретизации fД min сигнала с полосой частот fН ÷ fВ . Исходя из пер-

вого неравенства в (2.8), можно утверждать, что fД = fД min при n = nmax . В свою очередь, n будет принимать максимальное значение, только

Подставим в последнее неравенство значение nmax , и после несложных преобразований получим 2(fВ − fН )≤ fД min ≤ 2(fВ − fН ), откуда fД min = 2(fВ − fН )= 2∆f . Таким образом, значение частоты дискретиза-

ции не может быть меньше удвоенной полосы частот, занимаемой сигналом.

Теперь покажем, что все верхние боковые располагаются выше частоты fВ , и при выборе частоты дискретизации их можно не учитывать. Условие того, что верхняя боковая полоса около произвольной n-й гармоники частоты дискретизации находится выше частоты

то полученное неравенство справедливо при любом n ≠ 0 , а следовательно, все верхние боковые полосы частот будут располагаться выше частоты fВ .

Неравенства (2.8) были получены без учета полосы расфильтровки между спектром исходного сигнала и ближайшими к нему боковыми полосами частот. Если потребовать, чтобы полоса расфильтровки была бы не меньше некоторой величины ∆fФ (рис. 2.19), то условие выбора частоты дискретизации принимает вид

90

Sд(f)

∆fф ∆fф

f

Рис. 2.19. Спектр дискретного сигнала

Спектр сигнала АИМ-2. При определении спектра сигнала АИМ-2 воспользуемся вновь соотношением, на основании которого сигнал АИМ-2 представим в виде свертки последовательности отсчетов

С другой стороны, известно, что свертке во времени функций e0 (t) и aд (t) в частотной области соответствует произведение спектров исходных сигналов

s(t)АИМ-2 S (ω)АИМ-2 = E0 (ω)Aд (ω),

где a(t)д Aд (ω) −спектр последовательности отсчетов первичного сигнала a(t).

Спектр одиночного элемента импульсной несущей может быть определен достаточно просто при любой его форме. Так, для прямоугольного импульса с амплитудой U и длительностью τ имеем

E0 (ω) = τU sin ωτ/ 2 .

ωτ/ 2

91

Спектр последовательности отсчетов легко получить из спектра сигнала АИМ-1 путем предельного перехода при τ→0 при амплитуде импульсов U, стремящейся к бесконечности, так чтобы площадь каждого отсчетного импульса была равна единице. Для прямоугольных импульсов получаем

Для импульсов в импульсной несущей в форме прямоугольника спектр принимает конкретный вид

Таким образом, спектр сигнала АИМ-2 (рис. 2.20) также, как и при АИМ-1, состоит из спектра A(ω) модулирующего первичного сигнала a(t) и бесчисленного множества боковых полос около каждой гармоники импульсной несущей. Но, в отличие от АИМ-1, здесь перед суммой стоит частотно-зависимый множитель E0 (ω), равный спектру отдельного элемента импульсной несущей, приводящий к амплитудно-частот- ным искажениям всех спектральных составляющих, включая и A(ω) .

Выделение полезной составляющей из спектра сигнала АИМ-2 без помех дискретизации здесь также возможно с помощью ФНЧ, при условии, что ωд ≥ 2ωmax . Из спектральных диаграмм видно, что степень

амплитудно-частотных искажений определяется длительностью τ отсчетных импульсов в импульсной несущей e(t) . При τ→0 амплитудночастотные искажения уменьшаются и сигнал АИМ-2 практически совпадает с сигналом АИМ-1. С другой стороны, доля мощности полезной составляющей в спектре сигнала как АИМ-1, так и АИМ-2 при τ → 0 уменьшается, что, естественно, сказывается на помехозащищенности выделяемого полезного сигнала.

92

В реальных системах передачи с временным разделением каналов всегда τ << ∆t . Следовательно, ничтожно малой оказывается доля полезной составляющей. В связи с этим после выделения на приеме отсчетов конкретного сигнала они растягиваются во времени. Возникающие при этом большие амплитудно-частотные искажения затем корректируются с помощью корректора амплитудно-частотных искажений с передаточной функцией

Общей особенностью как сигналов АИМ-1, так и АИМ-2 является бесконечно широкая полоса частот, поэтому непосредственное применение таких сигналов в трактах передачи с ограниченной полосой частот нецелесообразно, поскольку из-за ограничения спектра сигнала в тракте форма отсчетных импульсов изменяется, что приводит к появлению межсимвольной интерференции в каждом канале и к появлению переходных влияний между каналами. Переходные влияния имеют характер внятных переходных разговоров.

93

Сигналы АИМ с ограниченной шириной спектра. Принципиально возможно формировать сигналы АИМ-2 со строго ограниченной полосой частот без межсимвольной интерференции. Из (2.10) видно, что ширина спектра сигнала АИМ-2 определяется спектром E0 (ω) одиночного элемента импульсной несущей.

Поставим задачу определения формы одиночного элемента e0 (t), которому соответствует строго ограниченный по частоте спектр E0 (ω). Зададим спектр одиночного элемента e0 (t) импульсной несущей в виде прямоугольника шириной 2Nfmax (рис. 2.21, верхний график). Тогда, единичный элемент e0 (t) импульсной несущей e(t) может быть определен с помощью преобразования Фурье.

Поскольку E0 (ω) является четной функцией частоты, то

Рис. 2.21. Формирование символов с ограниченным спектром для импульсной несущей сигнала АИМ-2

94

Таким образом, мы получили подтверждение того, что строго ограниченному спектру импульсной несущей соответствуют бесконечные по длительности одиночные импульсы вида sin x / x (рис. 2.21, нижний график). Тем не менее, эти элементы импульсной несущей обладают интересным свойством, а именно, свойством отсчетности, о котором говорилось ранее. В одной нулевой точке значение элемента e0 (t) равно 2E0 fmax , т. е. равно площади под кривой спектра. Во всех других точках, следующих через ∆tАИМ =1/ 2Nfmax , значение элементов равно нулю. Следовательно, в этих точках можно располагать, например, элементы других канальных сигналов, и они могут быть выделены на приеме без взаимного влияния.

Кажущаяся на первый взгляд абстрактной поставленная задача имеет реальное практическое применение. Дело в том, что если срезы спектра E0 (ω) сделать не столь крутыми, т. е. без разрывов производной, то e0 (t) будет убывать во времени значительно быстрее и при ка- кой-то вполне определенной длительности e0 (t) боковыми лепестками можно пренебречь. Такие элементы сигналов широко применяются в высокоэффективных системах передачи данных и в перспективных системах передачи на малое число каналов. Интервал их формирования составляет обычно (30...150) ∆tАИМ .

Групповой сигнал систем передачи с ВРК АИМ. Пусть система передачи будет рассчитана на N каналов. Групповой сигнал (рис. 2.22) системы передачи с ВРК АИМ-1 определяется соотношением

N

s(t)ВРК АИМ-1 = ∑an (t)en (t),

n=1

∞

где en (t) = ∑e0[t −i∆t − (n −1)∆t / N] − импульсная несущая;

i=−∞

e0 (t) − единичный импульс импульсной несущей.

95

Рис. 2.22. Формирование группового сигнала ВРК АИМ-1 (N=2)

Алгоритм разделения группового сигнала ВРК-АИМ имеет такую же структуру, как в системах передачи с ЧРК ДБП, ЧРК ОБП, ФРК:

Здесь все интегралы (кроме случая, когда n = k ) равны нулю, поскольку переносчики en (τ),ek (τ) ортогональны с весом g(t − τ) на бесконечном интервале времени. Единственный ненулевой интеграл определяет отклик ФНЧ на входной сигнал sk (t)АИМ, который равен ak (t) .

96

Сигнал АИМ-2 первого канала

Время

Рис. 2.23. Формирование группового сигнала ВРК АИМ-2 (N = 2)

Сигналы амплитудно-импульсной модуляции применяются во всех многоканальных системах передачи с временным разделением каналов и, в частности, в цифровых системах передачи с импульсно-кодовой модуляцией. Структурная схема системы передачи с ВРК АИМ приведена на рис. 2.24.

На этой схеме фильтры нижних частот на передаче ограничивают ширину спектра входного сигнала до граничной частоты fmax ≤ 0,5 fд .

97

Ширина спектра группового сигнала системы передачи с ВРК АИМ.

Если первичные сигналы имеют ограниченный по частоте спектр шири-

ной fmax , то отсчеты a(t) будут следовать через интервалы ∆t =1/ 2 fmax . При числе каналов N время, отводимое на передачу отсчета одного

канала, составит ∆tАИМ = ∆t / N =1/ 2Nfmax .

Использование в импульсной несущей элементов e0 (t) (рис. 2.21) обеспечивает строго ограниченный по ширине спектр канальных сигналов. Тогда и ширина полосы частот группового сигнала (рис. 2.24) системы передачи с ВРК АИМ-2 будет определяться соотношением

∆fВРК АИМ =1/ 2∆tАИМ = Nfmax .

Таким образом, ширина полосы частот группового сигнала в системе передачи с ВРК АИМ-2 в точности совпадает с необходимой шириной полосы частот систем передачи с ЧРК ОБП, ФРК и является минимально возможной. Следовательно, по занимаемой полосе частот системы передачи с ЧРК ОБП, ФРК и ВРК АИМ полностью эквивалентны.

Сложность реализации импульсной несущей с ограниченным спектром не давала возможности широкого применения таких систем

98

на практике. И только появление новой элементной базы в виде сигнальных процессоров открыло широкие перспективы создания на базе сигналов АИМ высокоэффективных цифровых систем передачи. Сейчас метод АИМ применяется при создании высокоскоростных цифровых абонентских линий.

Сравнение методов ЧРК ОБП, ФРК и ВРК АИМ. В предыдущих параграфах были определены полосы частот групповых сигналов для рассмотренных методов передачи

∆fАМДБП = 2Nfmax ; ∆fАМОБП = Nfmax ; ∆fФРК = Nfmax ; ∆fВРК АИМ = Nfmax .

Таким образом, по занимаемой полосе частот методы ЧРК ОБП, ФРК и ВРК АИМ эквивалентны, а метод ЧРК ДБП требует в 2 раза большую полосу частот.

Можно показать, что помехозащищенность сигналов по отношению к гауссовскому шуму в рассмотренных системах также одинакова.

Все рассмотренные системы передачи являются аналоговыми, общим для этих систем является сильный эффект накапливания помех в тракте передачи, когда мощность шума на выходе канала ТЧ прямо пропорциональна протяженности канала.

Контрольные вопросы

1.Каким условиям должны удовлетворять ортогональные переносчики?

2.Каким образом разделяются сигналы с ортогональными переносчиками?

3.Каким образом формируются сигналы АМ ДБП?

4.Какова ширина спектра группового сигнала АМ ДБП?

5.Каким образом разделяются сигналы с АМ ДБП?

6.Как формируются сигналы АМ ОБП?

7.Какова ширина полосы частот группового сигнала?

8.В чем заключается суть метода ФРК?

9.Какова ширина полосы частот группового сигнала ФРК?

10.В чем заключается суть метода ВРК?

11.Какие бывают разновидности сигналов амплитудно-импульсной модуляции?

12.Каким образом демодулируются сигналы АИМ?

99