Если операторы Rn линейны, то МСП называется системой с линейным разделением сигналов, в противном случае система передачи называется нелинейной.

На следующем этапе необходимо принимаемые канальные сигналы sˆn (t) преобразовать обратно в первичные сигналы {aˆn (t)}, которые, в свою очередь, тоже будут отличаться от переданных первичных сигналов {an (t)}. Процесс преобразования канальных сигналов в первичные заключается в применении к каждому принятому канальному сигналу sˆn (t) оператора, обратного M n , т. е.

Mn−1[sˆn (t)] = Mn−1{Mn[aˆn (t)]} = aˆn (t).

Поскольку каждый оператор M n , как было сказано выше, описывает процесс модуляции, то обратный оператор M n−1 определяет, соответственно, процесс демодуляции n -го канального сигнала.

2.1. Методы формирования и разделения многоканальных сигналов электросвязи

Предположим, что на передающей стороне групповой сигнал формируется путем суммирования канальных сигналов, представляющих собой произведения первичных сигналов {an (t)} и сигналов-перенос- чиков (несущих) {en (t)}

s(t) = e1(t)a1(t) + + eN (t)aN (t) .

Рассмотрим, как наиболее наглядный и простой, случай дискретного времени, когда первичные сигналы и сигналы-переносчики, а соответственно и групповой сигнал, характеризуются своими мгновенными значениями, взятыми в моменты времени i∆t , где ∆t – интервал дискретизации. Тогда выражение для группового сигнала можно представить в виде

s(i∆t) = e1(i∆t)a1(i∆t) + + eN (i∆t)aN (i∆t) .

При отсутствии влияния помех и искажений в процессе передачи группового сигнала s(i∆t) в пункте приема наблюдается точное значение s(i∆t). Имея на приеме групповой сигнал, требуется найти a1(i∆t),

66

a2 (i∆t), …, aN (i∆t) , т. е., по существу, решить одно линейное уравнение с N неизвестными. Однако данное уравнение имеет бесчисленное множество решений, а следовательно, задача поставлена некорректно. Для решения этой задачи требуется N линейных уравнений, т. е. на приеме необходимо иметь не менее N измерений группового сигнала при условии, что первичные сигналы a1(i∆t), a2 (i∆t), …, aN (i∆t) остаются неизменными. Данное условие может быть выполнено, если в качестве несущих использовать быстроменяющиеся функции по сравнению с функциями, описывающими первичные сигналы. Тогда, принимая, например, N = 3 и опуская для простоты аргумент дискретного времени, получим систему уравнений

s1 = e11a1 + e12a2 + e13a3, s2 = e21a1 + e22a2 + e23a3, s3 = e31a1 + e32a2 + e33a3.

Полученную систему уравнений можно переписать в следующем виде:

T – знак транспонирования.

Тогда алгоритм разделения группового сигнала на канальные и преобразования канальных сигналов в первичные будет иметь вид:

где E−1 – матрица, обратная к E .

Как известно, условием существования матрицы обратной к данной матрице является невырожденность последней, т. е. необходимо чтобы ее определитель ∆ ≠ 0. В противном случае обратная матрица

67

не существует, а система уравнений, соответственно, будет либо несовместной, либо неоднозначной. Условие ∆ ≠ 0 означает, что столбцы (строки) матрицы являются линейно независимыми.

Для рассматриваемого примера линейная независимость столбцов имеет место, если равенство, называемое линейной комбинацией,

m=1

Если определитель Грама G > 0, то векторы e1, e2 ,e3 линейно независимы. Если же G = 0, то векторы линейно зависимы.

Таким образом, обобщая сказанное выше, можно сформулировать принцип линейного разделения сигналов: для существования возможности разделения группового сигнала на канальные необходимо и достаточно, чтобы сигналы-переносчики были бы линейно независимыми. При этом

68

алгоритм разделения определяется выражением (2.1), а выполнение условия линейной независимости сигналов-переносчиков проверяется с помощью определителя Грама G .

Если сигналы-переносчики являются линейно независимыми, то разделение группового сигнала может быть выполнено не только согласно алгоритму (2.1), связанному с обращением матрицы E .

На приемной стороне сформируем совокупность линейно независимых сигналов-переносчиков, которые, как и прежде, представим в виде векторов {bn}. При этом векторы {bn} выберем так, чтобы они были взаимно ортогональны к совокупности векторов {en}, т. е. скалярное произведение векторов (bTn ,ek ) должно принимать значения

Следует заметить, что ортогональность векторов в геометрической интерпретации означает их перпендикулярность, поскольку скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Тогда алгоритм разделения будет иметь вид

Векторы {bn} будем искать как линейные комбинации векторов

{en}. А именно,

b1 = c11e1 + + c1N eN ;

bN = cN1e1 + + cNN eN ,

где коэффициенты cnk определяются из N 2 линейных уравнений, получаемых путем умножения каждого из уравнений на e1, e2 , , eN .

При внимательном рассмотрении полученных алгоритмов нетрудно видеть, что их реализация при большом N становится чрезвычайно трудоемкой. Решение задачи существенно упрощается, если матрица E является ортогональной. Ортогональные матрицы обладают свойством

E−1 = ET .

69

Если матрица E ортогональна, то должно выполняться условие

E−1E = ET E = I ,

т. е. сигналы-переносчики, определяемые совокупностью векторов {en} должны быть ортогональны. Следует заметить, что ортогональность более жесткое требование, чем линейная независимость. Иными словами, ортогональные векторы всегда линейно независимы, но не наоборот.

Использование ортогональных переносчиков позволяет, как уже было сказано выше, существенно упростить алгоритмы разделения, которые теперь примут вид

Фундаментальные понятия линейной независимости или ортогональности переносчиков в полной мере справедливы и для непрерывных во времени переносчиков en (t) , обладающих конечной энергией на интервале ∆t

(i +1)∆t

∫en2 (t)dt < ∞, n =1,..., N .

i∆t

Для таких переносчиков условие линейной независимости имеет

место, когда α1e1(t) +... + αN eN (t) = 0 при условии, что α1 =... = αN = 0. Из всей совокупности линейно-независимых переносчиков часть

может обладать свойством ортогональности. Ортогональными на интервале ∆t являются функции-переносчики e1(t) e2 (t),…,eN,(t), отличающиеся друг от друга каким-либо образом. Это может быть частота

70

синусоидальных колебаний, время прихода сигналов или просто форма кривой на интервале ∆t . Такие переносчики должны удовлетворять условиям

Примерами ортогональных переносчиков являются тригонометрические функции кратных аргументов sin nω0t, cosnω0t , полиномы Чебышева, полиномы Лежандра и др.

На практике, как правило, применяются ортогональные переносчики в виде тригонометрических функций кратных аргументов, поскольку процедура разделения группового сигнала на приеме в этом случае оказывается более простой, а канальные сигналы обладают максимальной энергией.

Ортогональные переносчики, обладающие конечной энергией на интервале ∆t , применяются в системах передачи дискретных сигналов. В многоканальных системах передачи необходимо передавать сигналы на бесконечном интервале времени. Но в этом случае указанное выше свойство ортогональности применять нельзя, поскольку энергия тригонометрических функций на бесконечном интервале времени будет равна бесконечности. Свойство ортогональности переносчиков в этом случае обеспечивается за счет введения понятия ортогональности переносчиков с определенным весом g(τ), т. е.

Для тригонометрических функций кратных аргументов sin nω0t , cosnω0t , а также для периодических последовательностей импульсов в качестве весовой функции следует применять импульсную характеристику фильтра нижних частот (ФНЧ). Например, импульсной характеристике вида (рис. 2.4, а)

g(τ) = 2G0∆f sin ∆ωτ

∆ωτ

71

соответствует передаточная функция идеального ФНЧ (рис. 2.4, б)

Формирование группового сигнала при передаче непрерывных во времени первичных сигналов осуществляется согласно правилу

n=1

Алгоритм разделения группового сигнала в этом случае имеет вид

∞

ak (t) = ∫g(t − τ)ek (τ)s(τ)dτ, k =1,..., N.

−∞

Данный алгоритм определяет отклик ФНЧ с импульсной характеристикой g(t) на входное воздействие ek (τ)s(τ) .

72