А27819 Лазарев В.Л. Робастое управление

Соответственно все множество изотроп выродится в одну горизонтальную прямую Ke = const. Графическая иллюстрация изменения состояния неопределенности (рис. 8.1) будет характеризоваться перемещением изображающей точки по этой прямой. То есть в результате такого упрощения величина ЭП параметра объекта вырождается в масштабированную величину дисперсии. В данном случае технологии моделирования и исследования эволюций систем на основе методов теории энтропийных потенциалов сведутся к классическим моделям и технологиям, основанным на использовании методов дисперсионного анализа.

Преимущество предложенного подхода, основанного на использовании понятий ЭП, состоит в том, что возрастают полнота и объективность исследований за счет комплексного учета дестабилизационных свойств законов распределения параметра (в виде соответствующих значений энтропийных коэффициентов) и характеристик его разброса (величин СКО).

Практическая значимость такого подхода заключается в том, что для получения оценок и Ke нужен значительно меньший объем измерительной информации, чем для определения энтропии H(x) или спектральной и автокорреляционной функций. Это связано с тем, что для получения представительной оценки величины требуется гораздо меньший объем выборки, чем для получения соответствующей оценки энтропии, а величина Ke в ряде случаев может быть определена теоретическим путем, исходя из физического смысла явлений, на основании аналогий и др. [18, 21]. Также получение достоверных оценок дисперсий рассматриваемых параметров является более простой задачей, чем, например, получение соответствующих автокорреляционных функций, для которых требуется на порядок больше экспериментальных данных.

Таким образом, введенное понятие ЭП оказывается полезным для исследования систем различной природы.

Однако в ряде случаев этого может оказаться недостаточно, так как возникнет необходимость учета и некоторого базового значения Xn, на фоне или относительно которого рассматривается состояние неопределенности, в связи с чем возникает необходимость введения нового обобщающего, расширенного понятия. Таким понятием, например, является комплексный энтропийный потенциал (КЭП).

151

Определение 2. Комплексным энтропийным потенциалом (КЭП) параметра называется величина, определяемая из выражения

где Xn – величина базового значения, относительно которого рассматривается состояние неопределенности.

В качестве базовой величины может быть выбрана величина математического ожидания параметра – mx или величина его номинального значения. Однако если изменения параметра происходят в окрестности нуля, то в качестве величины Xn могут быть также использованы величины диапазона изменения этого параметра, предельно допустимого значения и др. В частности, в качестве величины Xn может быть выбрана какая-либо базовая величина энтропийного потенциала eb. Если выбранная величина является отрицательной (например, исследуются состояния неопределенности тепловых режимов объекта в области отрицательных температур), то в качестве Xn берется модуль этой величины. Поэтому при использовании определения (8.21) всегда получаем выполнение условия Xn 0. А с учетом того, что Ke 0 и 0, имеем L 0.

Согласно сделанному выше определению, величины Lявляются безразмерными. Они могут использоваться в качестве критериев подобия при описании состояний неопределенности различных параметров. Очевидно также, что увеличение L свидетельствует о нарастании уровня состояния неопределенности, и наоборот.

Используя понятие КЭП, представляется возможным описать состояние неопределенности параметра единым комплексом, состоящим из трех наглядных информативных характеристик ( , Ke, Xn). Если использовать данные характеристики в качестве координат фазового пространства, то состояние неопределенности параметра будет представляться положением изображающей точки в соответствующей трехмерной декартовой системе координат. Отображение множества состояний неопределенности, характеризуемых величинами , Ke, Xn, во множество точек этого пространства, также является сюръекцией, так как различные состояния могут иметь одинаковую величину комплексного энтропийного потенциала.

152

Условия L= Cj = const, j J, соответствующие различным уровням состояний неопределенности объекта или системы, разбивают исходное множество точек трехмерного пространства на классы подмножеств точек M( K,X)(j), лежащих на одной поверхности постоянного комплексного энтропийного потенциала – изотропной поверхности. Указанные поверхности не пересекаются. Доказательство данного утверждения оформим в виде нижеследующей теоремы.

Теорема 2. Изотропные поверхности не имеют точек пересе-

чения.

Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Предположим, что какие-либо две изотропные поверхности L ( ) = const и L ( ) = const (L ( ) L ( )) пересекаются в какой-либо точке K. Тогда в этой ситуации имеет место равенство L ( ) = L ( ). Получили противоречие. Что и требовалось доказать.

Очевидно, что перемещение изображающей точки по изотропной поверхности, соответствующее изменению состояния системы, например, по причине эволюции под действием каких-либо факторов или реализации какого-либо управления, свидетельствует о неизменности степени ее состояния неопределенности в комплексе. Уменьшению степени состояния неопределенности объекта или системы будет соответствовать переход изображающей точки на другую изо-

подмножеств точек изотропных поверхностей

Условие Xn = const в геометрической интерпретации соответствует сечению семейства изотропных поверхностей плоскостью. В результате образуется семейство кривых (изотроп) в плоской системе координат и Ke, определяемых условием ej = Cj = const. Поэтому очевидно, что утверждение леммы 1 является частным случаем теоремы 2.

Изменение состояния неопределенности системы можно оценить по величине дифференциала комплексного энтропийного потенциала dL :

153

Используя выражение (8.23), представляется возможным сформулировать положение о неизменности состояния неопределенности системы, например, в результате ее эволюции или реализации какого-либо этапа управления из условия dL= 0. Очевидно, что данное условие, в геометрической интерпретации, описывает перемещение изображающей точки по изотропной поверхности. В результате получим

В выражении (8.24) величина дифференциала dKe характеризует изменение «дестабилизационных» свойств закона распределения параметра (в энтропийном смысле); d – изменение величины СКО параметра; d(lnXn) – изменение величины базового значения параметра в логарифмическом масштабе.

Используя выражение энтропийного потенциала через характеристики рассеяния, то же положение (8.24) можно привести к виду

Из выражения (8.25) следует, что для нахождения изображающей точки на изотропной поверхности, т. е. для обеспечения постоянного уровня неопределенности системы, необходимо, чтобы относительное изменение величины энтропийного потенциала было равно относительному изменению величины базового значения.

В ряде задач, когда существуют допускающие дифференцирование аналитические зависимости для входящих в выражение (8.21) величин , Ke и Xn от варьируемых параметров системы yj (j = 1, 2 ,…, n), величина dLможет быть определена из выражения

154

Практическое значение для применения предложенного подхода к изучению систем имеет наличие метрологического обеспечения самого процесса исследования. Другими словами, необходимо наличие зависимости для однозначной «точностной» оценки получаемых характеристик исследуемого процесса или явления. Искомую зависимость можно получить следующим образом. Последовательно прологарифмируем, а затем продифференцируем обе части выражения (8.21). В результате получим

Все члены выражения (8.27) можно трактовать как величины приведенных погрешностей L, K, , X. С учетом данных обозначений искомая зависимость примет вид

Используя понятия энтропийных потенциалов, представляется возможным количественно охарактеризовать изменение состояния системы по рассматриваемому параметру по ее «информационному следу». Вывод и доказательство этого положения оформим в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть L (1), e(1) и L (2), e(2) – величины энтропийных потенциалов параметра, характеризующих два состояния не-

определенности системы. Тогда количество информации I, порожденное переходом системы от одного состояния неопределенности к другому, инвариантно относительно соответствующих базовых

значений параметра Xn1 и Xn2 и равно I = ln( e(1)/ e(2)). Доказательство. Определим приращение величины КЭП па-

через соответствующие им величины энтропий Н1 и Н2 из выражения (8.6). В результате получим

чества информации, порожденной изменением состояния неопределенности системы, ее «информационным следом» на данном этапе.

Что и требовалось доказать.

Полученному результату (8.30) можно придать дальнейшее развитие. Для этого выразим величины энтропийных потенциалов через соответствующие характеристики рассеяния в соответствии с выражением (8.14). В результате получим

раметра. Значения kke в ряде случаев могут быть определены теоретически, исходя из физического смысла с использованием аналогий и других, а для некоторых типовых ситуаций – заранее вычислены и табулированы. Величина kke характеризует трансформацию закона распределения параметра в статике. В динамике такой процесс будет описываться диф-

156

Выразим входящие в формулу (8.33) величины ЭП через величины соответствующих энтропий на основании выражения (8.6). В результате имеем

где I H1 H2 – количество информации, порожденное изменением состояния неопределенности системы. Логарифмируя обе части неравенства (8.34), получим

Что и требовалось доказать.

В качестве комментариев к приведенным теоремам 3 и 4 необходимо отметить следующее.

1. Полученный частный результат (8.37) не противоречит утверждению теоремы 3. Действительно, как следует из определе-

что и является утверждением теоремы 3.

158

2.Выводы теорем 2 и 3 справедливы для любых базовых законов распределения, которые могут быть положены в основу определений величин ЭП и КЭП. Переход к новой базе закона распределения приведет к тому, что в выражениях (8.30)–(8.33) величины ЭП будут умножены на одну и ту же величину соответствующего коэффициента перехода. После сокращений получим те же исходные выражения. Поэтому в окончательных результатах указанных теорем коэффициенты переходов отсутствуют.

3.Согласно полученным результатам (8.30), (8.35)–(8.37), величина информации, порождаемая изменением состояний неопределенности, может принимать отрицательные значения. На первый взгляд это противоречит известным положениям теории информации. На самом деле противоречия здесь нет. Дело в том, что классическое определение информации основано на использовании понятий априорной и апостериорной энтропий. Априорная энтропия характеризует исходное состояние неопределенности объекта. Апостериорная энтропия характеризует состояние неопределенности после наступления какого-либо события, уточняющего это состояние. Такими событиями могут являться, например, проведение этапа измерений, прием

сигнала, содержащего дополнительную информацию об объекте, и др. Поэтому значение величины апостериорной энтропии никогда не превышает величины априорной энтропии. Классическое определение количества информации I, порожденной наступлением таких событий, основано на оценке уменьшения состояния неопределенности, которая определяется разностью априорной и апостериорной энтропий. Естественно, что определенное таким образом количество

В общем случае рассматривается изменение состояния неопределенности объекта под действием самых различных факторов, определяемых пространственными и временными координатами. При этом уровни состояний неопределенности могут как убывать, так и возрастать. Поэтому величина разности энтропий двух сравниваемых состояний может принимать как положительное, так и отрицательное значение. В частном случае, когда проявление таких факторов обусловливает появление апостериорной энтропии или имеет место уменьшение энтропии последующего состояния, количество информации будет неотрицательно. В дальнейшем, при необходимости,

159

с целью устранения неоднозначности трактовки это обобщенное на основе ТЭП понятие величины информации целесообразно обозначать как IL.

4. На основании результатов теоремы 4 (8.35)–(8.37) можно утверждать, что при использовании величины КЭП для оценки состояния неопределенности условие L (1) = L (2) и соответствующее ему выражение IL = ln(Xn1/Xn2) определяют «линию бифуркации» информационного поля системы. Сказанное проиллюстрировано на рис. 8.4. Здесь в декартовой системе координат Xn1/Xn2 и IL линия IL = ln(Xn1/Xn2) разделяет все пространство возможных значений величины IL системы на две области. В одной области, соответствующей условию L (1) L (2), область возможных значений величины IL будет располагаться над графи-

изображающей точки на указанной разделительной линии соответствует ситуации, когда значение величины IL будет однозначно определяться из выражения (8.37) на основании соотношения базовых значений параметров. Таким образом, относительно данной линии осуществляется фрагментация информационного поля системы.

Рис. 8.4. Фрагментация структуры информационного поля системы в зависимости от соотношений величин КЭПов и базовых значений параметров

160