5.4. Основное уравнение центробежных машин

Необходимо установить связь между кинематическими параметрами рабочего колеса и энергией подводимой жидкости. Иными словами, надо получить уравнение, позволяющее рассчитать напор, развиваемый насосом. Чтобы несколько упростить решение поставленной задачи, примем следующие допущения:

− жидкость идеальная, т. е. вся энергия передается к ней без потерь;

− количество лопаток бесконечно большое, следовательно, течение жидкости в рабочем колесе можно рассматривать в виде элементарных струек.

В основу вывода уравнения положим теорему об изменении момента количества движения, сформулировав ее применительно к нашей задаче в следующей интерпретации: изменение момента количества движения жидкости в единицу времени относительно оси рабочего колеса равно моменту равнодействующей всех сил, приложенных к колесу, или крутящему моменту.

Согласно принятым допущениям, а также уравнению (4.4), крутящий момент

,

откуда

. (5.14)

Прежде чем приступить к нахождению рассмотрим движение элемента жидкости массой относительно центра 0 со скоростью , находящейся от центра на расстоянии (рис. 5.11).

Момент количества движения данного элемента относительно точки 0

.

R

Изменение момента количества движения в единицу времени

Рис. 5.11.

Движение элемента

жидкости

. (5.15)

Применим предыдущие рассуждения к движению жидкости в элементарной струйке рабочего колеса. В выражении (5.15) есть массовый расход через сечение

э

лементарной струйки. В результате подвода энергии произойдет изменение момента количества жидкости во входном и выходном сечениях рабочего колеса. Представим значения этих изменений для соответствующих сечений в виде равенств

.

Изменение момента количества движения между сечениями

так как , то

.

Суммарное изменение момента количества движения жидкости, находящейся в данный момент времени в рабочем колесе,

, (5.16)

где − полная теоретическая производительность насоса .

Из уравнений (5.14) и (5.16) следует

. (5.17)

Так как , то из уравнения (5.17) получим

. (5.18)

Выражение (5.18) называется основным уравнением центробежных машин. Слагаемое с отрицательным знаком в уравнении (5.18) характеризует потери энергии, связанные с изменением скорости движения жидкости при входе в рабочее колесо и называемые потерями на удар. Для безударного входа, как уже известно, . Из уравнения (5.18) следует

. (5.19)

Действительный напор будет меньше из-за потерь на гидравлическое трение и конечного числа лопаток. С учетом потерь запишем

,

где − коэффициент, учитывающий конечное число лопаток, зависит от рабочего колеса и в среднем может быть принят равным 0,8; − теоретический напор рабочего колеса с конечным числом лопаток (см. подразд. 4.1).

5.5. Коэффициент реакции рабочего колеса

В результате подвода энергии к жидкости, с одной стороны, происходит увеличение давления от значения на входе в рабочее колесо до на выходе из него, а с другой − увеличение абсолютной скорости движения от до . Иными словами, увеличивается потенциальная и кинетическая энергия жидкости; полный напор можно представить в виде суммы:

. (5.20)

Найдем прирост кинетической энергии (ее еще называют динамической частью напора), помня, что , и для безударного входа :

. (5.21)

Прирост потенциальной, или статической, части напора

. (5.22)

Мы заинтересованы в том, чтобы статическая часть составляла большую долю полного напора. Поскольку, независимо от конструкции насоса, в полном напоре присутствует динамическая составляющая, то приходится преобразовывать кинетическую энергию в потенциальную. Эти преобразования происходят в основном в выходном патрубке насоса, выполненного в виде диффузора. Коэффициент полезного действия таких преобразований невелик, т. е. переход одного вида энергии в другую связан с потерями, о чем говорилось в подразд. 2.7.5. Вследствие этих потерь снижается общий КПД насоса.

Соотношение между статической и динамической частями напора определяет степень реактивности рабочего колеса. Если статический напор составляет большую долю, то действие колеса называется реактивным; если превалирует динамическая часть − активным.

Численно доля статической части напора оценивается коэффициентом реакции

.

Из уравнений (5.19), (5.21) и (5.22) следует

. (5.23)