лаба 1 графики, поверхности , нелинейные... бгуир присод / 1_Графики, поверхности, нелинейные уравнения

ЗАДАЧА 2

Построить в одной системе координат при x [−1,8; 2,7] графики следующих двух функций:

y = 2sin(2πx) cos(4πx),

z = cos2 (3πx)−cos(πx) sin(πx).

Решение

Для построения графиков функций необходимо сначала построить таблицу их значений при различных значениях аргумента, причем аргумент в нашем случае для двух функций пусть изменяется с фиксированным шагом, например, 0,2. Выбор этого шага обусловлен необходимостью более наглядного отображения значения функции на интервале табуляции, т.е на интервале от минус 1,8 до 2,7.

Создадим в Excel таблицу следующего вида (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Ввод исходных данных

Зафиксируем курсор в ячейке А2 и выберем команду Правка Запольнить Прогрессия (рис.1.15). После ее выполнения появится диалоговое окно Прогрессия (рис. 1.16), которое заполним следующим образом:

•в группе Расположение установим переключатель в положение

По столбцам;

•в группе Тип − в положение Арифметическая;

•в поле Шаг введем значение выбранного нами шага, т.е. введем

0,2;

•в поле Предельное значение установим 2,7;

•выполняем команду ОК (результат показан на рис. 1.17).

Рис. 1.15. Команда Правка Рис. 1.16. Диалоговое окно Прогрессия Запольнить Прогрессия

Рис. 1.17. Результат заполнения диапазона ячеек А2:А24

Введем в ячейку B2 иС2 формулы для расчета y и z соответствен-

но:

=2*SIN(2*ПИ()*A2)*COS(4*ПИ()*A2) =COS(3*ПИ()*A2)^2-COS(ПИ()*A2)*SIN(ПИ()*A2)

В результате в ячейке B2 и С2 появиться результат вычисления, он равен соответственно: –1,53884 и –0,38004.

Выделим ячейки B2 и С2 маркером заполнения протаскиваем его вниз до тех пор, пока не получится числовой ряд нужной длины (С2:D24) как показано на рис. 1.18.

Рис. 1.18. Вид окна после заполнения диапазона ячеек С2:D24

Для построения графика функции выделим диапазон ячеек А2:С24, содержащий таблицу значений функций и ее аргумента, и вызовем мас-

тер диаграмм с помощью команды Вставка Диаграмма или с помо-

щью кнопки Мастер диаграмм . Появится диалоговое окно Мастер диаграмм, в котором используя закладку Стандартные в Типе выберем График, а в Виде выберем график, который показан на рис. 1.19. Затем нажмем кнопку Далее, появится новое диалоговое окно (рис. 1.20). Перейдем на закладку Ряд и удалим в соответствующем поле Ряд 1 (рис. 1.21). Выполним следующий шаг 3, для чего снова нажмем кнопку Далее, появится новое диалоговое окно в котором в поле Название диаграммы запишем Графики двух функций (рис. 1.22), и нажмем кнопку Далее. В появившемся диалоговом окне в группе Имеющемся установим Лист 1 (рис. 1.23), что предполагает размещение на диаграмме на листе, на котором выполнялись все расчеты. Нажав кнопку Готово, получим на листе рабочей книги графики двух функций (рис. 1.24).

Рис. 1.23. Вид диалогового окна (шаг 4)

Рис. 1.24. Вид листа рабочей книги после построения графиков функций

ЗАДАЧА 3

Найти все корни уравнения х3 - 2,92х2 + 1,4355x + 0,791136 = 0.

Решение

Полином третье степени имеет не более трех вещественных корней. Для их нахождения корни предварительно необходимо локализовать. С этой целью построим график функции или ее протабулировать. Протабулируем функцию на отрезке, например, [-2, 2] с шагом 0,2. Результат табуляции и построения графика показан на рис. 1.25, где в ячейку В2 введена следующая формула:

=A2-2,92*A2^2+1,4355*A2+0,791136

Из рис. 1.25 видно, что полином меняет знак на интервалах [-0,5;- 0,3], [0,85;1] и [1,9;2]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не

более трех действительных корней, значит мы локализовали все его корни.

Рис. 1.25. Вид листа рабочей книги после табуляции и построения графика

Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис Подбор параметра. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры, открываемого ко-

мандой Сервис Параметры.

Зададим относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000 соответственно. В качестве начальных значений приближений к корням возьмем любые точки из отрезков локализации корней, например, их средние точки: 0,4; 0,925 и 1,95 и введем их

вдиапазон ячеек С2:С4. В ячейку D2 введем формулу

=C2^3-2,92*C2^2+1,4355*C2+0,791136

Выделим ячейку D2 и с помощью маркера заполнения протащим введенную в нее формулу на диапазон D2:D4. Таким образом, в ячейках

D2:D4 вычисляются значения полинома при значениях аргумента, введенного в ячейки С2:С4 соответственно (рис. 1.26).

Рис. 1.26. Результат вычислений

Зафиксируем курсор в любой свободной ячейке, затем выберем команду Сервис Подбор параметра и заполним диалоговое окно Подбора Параметра следующим образом (рис. 1.27):

•в поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения; для нахождения корня уравнения с помощью средства подбора параметров надо записать уравнение так, чтобы его правая часть не содержала переменную (по условию задачи именно так и есть);

•в поле Значение необходимо ввести 0 так как в этом поле указывается правая часть уравнения;

•в поле Изменяя значение ячейки дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную, в нашем случае надо записать С2.

ЗАМЕЧАНИЕ

Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор Параметра удобнее не с клавиатуры, а щелчком мыши на соответствующей ячейке. Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки.

Рис. 1.27. Диалоговое окно Подбор параметра

После нажатия ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помещается в ячейку С2. В нашем случае первый корень равен 1,230185439.

Аналогично были найдены два других корня. Они равны

1,22998294 и 2,009647522. Результат отображен на рис. 1.28.

Диалоговое окно Результат подбор параметра после успешного завершения поиска решения показан на рис. 1.29 (для второго корня).

Рис. 1.28. Результат нахождений корня средством подбора параметра

Рис. 1.29. Диалоговое окно Результат подбора параметра

ЗАДАЧА 4

Построить графики двух функций в одной системе координат с шагом для х 0,1

Y = 2sin(2πx) cos(4πx) x [−3;2]

Рекомендации по выполнению

Создайте файл Графики и Поверхности.xls.

На новом листе в ячейках А1, А2, А3 запишите соответственно Х, Y, Z. В ячейку А2 введите значение -3. Вызовите функцию Правка/Заполнить/Прогрессия… Установите параметры как показано на рис.1.30.

Рис. 1.30. Окно заполнения данных в ячейки

В ячейку В2 введите следующую формулу

=2*SIN(2*ПИ()*A2)*COS(4*ПИ()*A2)

Растяните введенную формулу вниз до значения x=2 В ячейку С2 введите другую формулу

=ЕСЛИ(A2<0,КОРЕНЬ(1+A2^2*(1+A2^2)),ЕСЛИ(И(A2>=0,A2<=1), 2*COS(A2)^2, КОРЕНЬ(1+ABS(2*SIN(3*A2))^(1/3))))

Растяните введенную формулу вниз до значения x=2.

Проверьте заполнение ячеек в соответствии с рис.1.31.

Рис. 1.31. Заполнение ячеек с учетом формул