Основные правила вычисления пределов, связанные с арифметическими операциями

Если функции y=f(x) и y=(x) имеют конечные пределы при ха, то:

1.  , предел суммы равен сумме пределов.

2.  , предел произведения равен произведению пределов.

3.  , предел частного равен отношению пределов, если .

4.  , предел постоянной величины равен самой постоянной.

5.  - постоянную величину можно выносить за знак предела.

Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.

Таблица эквивалентных БМ величин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ	где …

Второй замечательный предел на практике можно использовать и в такой форме:

где а, в - соnst

Следствия из замечательных пределов – это соотношения эквивалентности между некоторыми БМ величинами.

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть , т.е. является бесконечно малой величиной.

Следствия из первого замечательного предела.	Следствия из второго замечательного предела.

Технология вычисления пределов

При вычислении пределов функций используется правило предельного перехода под знаком непрерывной функции, которое формулируется так:

.

Оно справедливо для всех элементарных функций, так как они непрерывны в своих областях определения. Из правила следует, что при вычислении пределов, прежде всего, необходимо аргумент функции заменить его предельным значением и выяснить, имеется ли неопределенное выражение. К неопределенным относятся выражения вида:

.

Если такое выражение существует, необходимо выполнить тождественные преобразования, в результате которых устраняется неопределенность, а затем вычисляется предел.

Различные способы вычисления пределов приведены в разделе "Примеры выполнения обязательных заданий по теме 4".

.

Логическая схема технологии вычисления пределов

Непрерывность функции. Классификация разрывов функции

 Функция у=у(х) называется непрерывной в т. х=х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и предел функции при хх₀ совпадает с ее значением в т. х=х₀, т.е.

Выполнение этого равенства предполагает выполнение следующих условий:

• Функция определена в точкеи некоторой ее окрестности.

• Существует конечный правый предел функции

.

• Существует конечный левый предел функции

.

• Односторонние пределы равны и их общее значение есть предел функции в точке .

• Предел функции равен значению функции в точке , т.е.

.

Если не выполняется хотя бы одно из перечисленных условий, то говорят, что функция имеет (терпит) разрыв в точке .

Точки разрыва бывают I и II рода.

 Для определения вида разрыва следует:

1. Найти точки, в которых функция может иметь разрыв. Это либо точки, не принадлежащие области допустимых значений, либо точки, в которых меняется аналитическое выражение функции.

2. В каждой такой точке вычислить односторонние пределы:

3. Учитывая полученные значения односторонних пределов, сделать вывод о характере разрыва, пользуясь схемой.

Вопреки распространенному мнению, в экономических задачах прерывность функции встречается не менее часто, чем непрерывность.

Например, рассмотрим мощность черной металлургии по производству чугуна, как функцию времени. Очевидно, изменение этой мощности, измеряемой числом м³ полезного объема доменных печей, происходит в моменты окончания строительства и сдачи в эксплуатацию каждой новой печи или в моменты остановки и закрытия старых печей. В эти моменты функция мощности имеет разрыв 1–го рода – скачки, а в промежутках между ними остается постоянной (смотри рисунок).

Рассмотрение функции как прерывной или непрерывной зависит от конкретных условий. В связи с большей простотой решения многих вопросов для непрерывной функции иногда допускают, что функция непрерывна.

Однако, нередко функция, строго говоря, имеющая много разрывов, может с известным приближением рассматриваться как непрерывная, причем в ее анализе могут применяться соответствующие приемы. Например, численность населения страны как функция времени носит, строго говоря, такой же прерывный характер, как и мощность доменного производства. Она увеличивается или уменьшается на единицу в моменты соответственно рождения или смерти какого-либо гражданина. Но изменение численности на 1 настолько мало ее меняет в масштабах страны с населением в несколько десятков миллионов, что функцию можно считать непрерывной. Но стоит перейти от численности населения страны к численности населения дома или квартиры, то въезд или выезд одного жителя будут настолько заметно ее менять, что эту функцию нельзя практически рассматривать как непрерывную.