ИЭ / 2 семестр / Учебник / Мат. анализ 1

Неопределенности типа

.

Теорема 2 правило Лопиталя для неопределенности типа

.

Пусть функции

и

определены на

проколотой окрестности

точки и обладают следующими свойствами:

1)

,

;

2)

и

дифференцируемы на

;

3)

.

Тогда если существует

(конечный или бесконечный), то существует и

, при этом выполняется равенство:

.

Доказательство этой теоремы можно найти в

, .

Замечание. Теоремы 1 и 2 справедливы и в случае односторонних пределов:

и

в случае пределов на бесконечности:

,

,

.

Пример 2.

Пусть

;

,

т.е. при

логарифмическая функция

растет медленнее, чем любая степенная

функция с положительным показателем степени.

Пример 3.

Пусть

;

Если

, то снова можно применить правило Лопиталя, если

, то предел

равен нулю.

Пусть

для некоторого

; тогда после

- кратного применения

правила Лопиталя, получим:

Кроме рассмотренных неопределенностей типа

и

есть неопределенности

типа:

,

, ,

,

(см.

, глава 4, §10).

Неопределенности

и

легко сводятся к неопределенностям

и

. Покажем это на примерах.

.

В случае неопределенностей типа

,

,

рекомендуется эти выражения

Пусть

, где

;

;

тогда

представляет собой неопределенность уже изученного типа

.

Если

, то

.

Пример 6.

;

(см. Пример 4)

.

Пример 7.

;

.

;

.

§ 1.

Исследование функций на монотонность

……………………………………………….

54

§ 2.

Исследование функций на экстремумы

………..……………………………………..…

59

§ 3.

Исследование функций на выпуклость (вогнутость) ………………..……….………

68

§ 4.

Построение графиков функций ………………………………………………..………. 75

54

§ 1.

Исследование функций на монотонность.

Рассматриваемые в этом параграфе функции

с областью определения

предполагаются непрерывными на промежутке

и дифференцируемыми внутри

него. При этом промежуток может быть замкнутым, открытым, полуоткрытым,

ограниченным или неограниченным. Через

обозначим внутреннюю часть .

Признак постоянства функции.

Теорема 1.

Для того чтобы

была постоянной на промежутке

, необходимо и достаточно,

чтобы производная функции тождественно равнялась нулю внутри :

на

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть

на

. Тогда

.

Достаточность. Пусть

.

Возьмем произвольные точки

,

. По теореме Лагранжа (см. §2 главы 2) найдется точка

такая, что

.

Так как

, то

и

, т.е.

.

Это означает, что функция

принимает одно и то же значение во всех точках

промежутка , т.е.

постоянна на промежутке .

тригонометрии тождества:

;

.

Действительно: пусть

, тогда

. Подставим в это равенство

:

. Следовательно:

Следствие.

Если две функции

и

имеют равные производные внутри промежутка ,

то эти функции могут отличаться,

лишь на постоянное слагаемое на этом промежутке:

на .

55

Доказательство.

Пусть

, тогда

на

на .

Следствие доказано.

Пример 1.

Рассмотрим две функции:

и

,

.

;

.

на

.

Найдем значение константы ; для этого в последнее равенство подставим

:

. Следовательно:

.

Пример 2.

Рассмотрим две функции:

и

,

.

;

.

.

Здесь константа

может быть различной на каждом из интервалов:

,

,

.

Подставляя значения:

,

получим соответственно значения

:

,

,

,

,

.

Таким образом, имеем следующие тождества:

;

;

.

57

Достаточность.

Пусть выполнены условия а) и б). Из условия а) по Теореме 2 следует,

что

на .

Докажем, что

строго

на методом от противного. Пусть

найдутся такие значения

,

, что

. В силу возрастания

функции имеем неравенства:

; так как

, то

; следовательно:

,

но это противоречит условию б).

Поэтому

строго на .

Теорема доказана.

Теорема 4 (достаточное условие строгой монотонности).

1) если

, то

строго возрастает на промежутке ;

2) если

, то

строго убывает на промежутке .

Доказательство.

1) возьмем произвольные точки

,

. По теореме Лагранжа

найдется точка

такая, что

.

Так как

и

, то

и

, т.е.

,

. Это означает, что

строго на .

Аналогично доказывается пункт 2). Теорема доказана.

Замечание.

Достаточное условие строгой монотонности не является необходимым, т.е. если

функция строго монотонна на некотором промежутке

, то не обязательно, чтобы

выполнялось и строгое неравенство для ее производной:

.

Из строгой монотонности, как и обычной монотонности, следует лишь нестрогое

неравенство:

.

Например, функция

строго возрастает на

. Но ее

производная

обращается

в нуль при

:

.

1) если

за исключением (быть может) лишь конечного числа

значений

, в которых

, то

строго возрастает на промежутке ;

2) если

за исключением (быть может) лишь конечного числа

значений

, в которых

,

то

строго убывает на промежутке .

Пример 3.

;

,

,

.

Итак, на любом конечном промежутке, согласно Теореме 5, функция

строго

возрастает. Следовательно, функция

строго возрастает и на

.

Пример 4.

Доказать неравенство:

.

Пусть

; тогда

.

Как известно:

(см. , глава 4, §5, Лемма 1), поэтому

. Следовательно, функция

строго возрастает на промежутке

, т.е

.

Так как

, то получаем:

.

Пример 5.

Доказать неравенство:

.

Пусть

; тогда

.

Из предыдущего примера имеем:

.

Следовательно, функция

строго возрастает на промежутке

,

т.е

. Так как

, то получаем:

. Неравенство доказано.

Пример 6.

Доказать неравенство:

.

Пусть

; тогда

. Следовательно,

функция

строго убывает на промежутке

, т.е

.

Неравенство доказано.

§1 главы 2.

Определение. Точка называется точкой максимума функции

, если в

некоторой окрестности этой точки значение

является наибольшим, т.е.

:

. Значение

называется максимумом.

Точка

называется точкой минимума функции

, если в некоторой

окрестности этой точки значение

является наименьшим, т.е.

:

. Значение

называется минимумом.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Значение

функции в точке экстремума называется экстремумом.

Для точек экстремума была доказана следующая теорема (см. §1 главы 2).

Теорема Ферма.

Пусть

точка экстремума функции

. Если функция дифференцируема в

точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

т. экстр.,

(конечная)

.

Например,

функция

в точке

имеет минимум и производная в этой

точке равна нулю:

,

.

Надо заметить, что обратное утверждение к теореме Ферма неверно: если

, то

может и не быть точкой экстремума.

Например, функция

в

точке

имеет производную, равную нулю:

,

; однако эта

точки, в которых производная либо равна нулю, либо равна

, либо не существует.

Например:

- функция

в точке

имеет минимум,

не существует (см. рис.);

- функция

в точке

имеет минимум,

(см. рис.).

Далее, исследуя функцию

на экстремум, будем предполагать, что она

непрерывна на .

Определение. Точки, в которых производная функции

равна нулю, либо равна ,

либо не существует, называются критическими точками функции

(или точками,

подозрительными на экстремум).

если

точка экстремума функции

, то

критическая точка функции

.

Точки, в которых производная функции

равна нулю, называются

стационарными точками.

Экстремум функции

, достигаемый в стационарной точке, называется гладким

экстремумом. Если экстремум достигается в точке, в которой производная

не

существует, но существуют конечные

, то экстремум называется угловым.

Если же в точке экстремума

, то такой экстремум называется острым.

Например:

- функция

в точке

имеет гладкий минимум;

- функция

в точке

имеет угловой минимум;

- функция

в точке

имеет острый минимум.

Необходимые условия экстремума не являются достаточными:

если

критическая точка функции

, то

не обязательно точка экстремума.

Например, для функции

точка

критическая (стационарная) точка, но она

не является точкой экстремума.