ИЭ / 2 семестр / Учебник / Мат. анализ 1

или

.

Как будет показано в §5, интегралы от функций

, рационально

зависящих от функций

и

, берутся в конечном виде.

2). Интегралы вида:

.

,

,

Эти интегралы вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного

трехчлена

и дальнейшей замены переменной.

, где

многочлен степени .

112

где

неопределенный коэффициент,

многочлен степени

с

неопределенными коэффициентами.

Для нахождения неопределенных коэффициентов нужно продифференцировать

обе части этого равенства и упростить полученное выражение:

,

,

.

Затем следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях

многочленов,

полученных в обеих частях этого равенства.

,

где

натуральное число.

Такие интегралы «рационализируются» с помощью замены переменной:

.

Действительно:

,

,

,

.

В результате получаем интеграл вида

, рассмотренный в

предыдущем пункте.

Пример 9.

.

Рассмотрим общий случай интегралов вида:

.

универсальный метод для таких интегралов

метод подстановок Эйлера.

подстановка Эйлера:

если

, то

или

.

подстановка Эйлера:

если

, то

или

.

подстановка Эйлера: если

, то

114

или

, где

корни

квадратного трехчлена

.

Эйлеровы подстановки всегда «рационализируют» подынтегральное выражение

(доказательство можно найти в

,

) и, следовательно, интегралы такого типа берутся

в конечном виде.

Пример 10.

.

Здесь

, применим

-ую подстановку Эйлера:

; тогда имеем:

.

где

.

1. Интегралы вида:

,

,

.

.

2. Интегралы от функций, рационально зависящих от функций

и

:

.

Эти интегралы «рационализируются» с помощью, так называемой универсальной

тригонометрической подстановки [у.т.п.]:

.

Действительно, по формулам тригонометрии имеем:

,

, и кроме того

.

Следовательно:

,

где

рациональная функция.

Пример 2.

[у.т.п.]

.

Пример 3.

у т п

.

Универсальная тригонометрическая подстановка приводит, как правило, к

громоздким вычислениям (в отличие от приведенных примеров).

Иногда целесообразны другие подстановки, например:

- если функция

нечетна относительно

, т.е.

, то рекомендуется подстановка

;

- если функция

нечетна относительно

, т.е.

, то рекомендуется подстановка

;

116

- если функция

четна относительно

и

, т.е.

, то рекомендуется подстановка

;

- если функция

, то также рекомендуется подстановка

.

Пример 4.

3. Интегралы вида:

,

где

рациональные числа.

В случае, когда

и

целые числа, имеем интеграл вида

,

разобранный в предыдущем пункте.

Выясним, при каких еще значениях

и интегралы такого типа являются

«берущимися».

Преобразуем подынтегральное выражение:

.

Сделав замену переменной:

, получим:

, т.е. получим интеграл от дифференциального бинома вида:

, где

,

,

(см. § 4).

Данный интеграл берется в конечном виде, если оказывается целым хотя бы одно

из следующих чисел:

,

,

,

т.е. если оказывается целым хотя бы одно из

чисел

,

или

.

117

Это означает, что интеграл

является «берущимся» тогда и

только тогда, когда хотя бы одно из чисел

или есть целое нечетное число, либо когда

есть целое четное число.

Пример 6.

где

.

Рассмотрим примеры интегралов

, где

целые числа.

Если и

натуральные числа, причем хотя бы одно из них - нечетное, то

применяется подстановка:

(при нечетном

) или

(при нечетном );

если же оба числа - четные, то применяются сначала формулы понижения степени:

,

,

.

Если и

отрицательные целые числа, причем

- четное, то применяется

подстановка:

.

Пример 8.

,

,

,

,

,

,

где

натуральное число,

.

Пусть

;

при

и

имеем:

,

.

.

Итак, получаем:

или:

,

, где

Например:

, где

,

§ 2.

Условия интегрируемости функции

……………..………………………..……… 124

§ 3.

Свойства определенного интеграла

……………………………………………… 128

Задача 1 (о пройденном пути).

Пусть материальная точка движется прямолинейно с переменной скоростью

,

. Требуется найти путь

, пройденный ею за промежуток времени от до .

Решение.

Разбиваем промежуток времени

произвольным образом на

частичных

промежутков

,

.

Пусть

,

ранг разбиения (дробления).

Предполагаем частичные промежутки столь малыми, что в течение промежутка

скорость

точки меняется незначительно, и можно приближенно считать ее

постоянной, равной значению

в некоторый момент времени

.

Тогда значение пути

, пройденного точкой за промежуток времени от

до

приближенно вычисляется по формуле:

.

Весь путь , пройденный точкой за промежуток времени от до

, будет

приближенно выражаться суммой:

.

Чем меньше частичные промежутки времени

, т.е. чем меньше ранг

разбиения , тем точнее это приближенное равенство. Точное равенство достигается в

пределе при

:

.

Задача 2 (о массе неоднородного стержня).

Имеется прямолинейный стержень, расположенный на отрезке

оси абсцисс с

линейной плотностью распределения массы

. Требуется найти массу

этого

стержня.

Решение.

Разбиваем стержень произвольным образом на

участков