ИЭ / 2 семестр / Учебник / Мат. анализ 1

Глава 1. Производная и дифференциал

… 2

Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления

…

27

Глава 3.

Исследование функций

…

53

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Глава 4.

Неопределенный интеграл

…

85

Глава 5.

Определенный интеграл

…

119

Глава 6. Приложения определенного интеграла

…

142

Глава 7.

Несобственные интегралы

…

172

II. Задачи и упражнения.

Задачи к главе 1

…

201

Задачи к главе 2

…

205

Задачи к главе 3

…

207

Задачи к главе 4

…

210

Задачи к главе 5

…

213

Задачи к главе 6

…

215

Задачи к главе 7

…

217

Ответы

…

219

Литература

…

231

§ 1.

Производная функции …………………………………………………………………… 3

§ 2.

Производные основных элементарных функций ………………..……… 9

§ 3.

Понятие дифференцируемости

.....………………………………………… 11

Дана функция

с областью определения

. Пусть

внутренняя точка

множества

, т.е.

входит в множество

вместе с некоторой своей окрестностью:

.

Пусть

, тогда величина

называется приращением аргумента

(приращением независимой переменной) в точке , а величина

называется

приращением функции (приращением зависимой переменной) в точке

. Обозначения:

- приращение аргумента;

- приращение функции.

Приращения аргумента и функции могут принимать любые значения

(положительные, отрицательные или нулевые).

Поведение функции

в окрестности точки можно описать

качественно

или

количественно , если известна некоторая зависимость приращения функции от

приращения аргумента

. Например, если

при

, то функция

является непрерывной в точке .

Для более точной характеристики поведения функции

в окрестности точки

служит понятие производной одно из фундаментальных понятий в математическом

анализе.

Определение. Если существует предел

(конечный или бесконечный), то этот

предел называется производной функции

в точке

и обозначается

:

,

,

.

Если производная функции

вычисляется в произвольной точке

, то

применяется формула:

Примеры.

.

1.

где

;

;

;

;

в частности:

.

3.

,

;

;

.

;

.

5.

если

;

;

не существует;

.

6.

если

;

;

;

.

Геометрический смысл производной.

Рассмотрим на плоскости некоторую кривую

и точку , лежащую на этой

кривой. Проведем секущую через точку

и через другую точку , также лежащую на

кривой . Далее перемещаем точку вдоль кривой

, неограниченно приближая к точке

(см. рис.)

Определение. Предельное положение секущей

при неограниченном приближении

точки

вдоль кривой к точке

называется касательной к кривой в точке .

Используя понятие касательной, сформулируем геометрический смысл

производной.

Для этого рассмотрим график

непрерывной функции

и точку

, ),

где

. Проведем секущую

и касательную к графику

в точке

. Пусть

угол между секущей и осью

,

угол между касательной и осью ,

угловой коэффициент касательной

.

Из рисунка видно, что

.

При

точка

неограниченно

приближается к точке

вдоль графика

и, следовательно, секущая

переходит в

пределе в касательную. При этом

и

.

Если

существует, то

.

Таким образом, производная функции

в точке

равна угловому

коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке

:

.

Уравнение касательной:

или:

.

Уравнение нормали:

или:

.

Пример 7.

Составим уравнения касательной и нормали к графику функции

в точке

.

Здесь

,

.

Уравнение касательной:

или

.

Уравнение нормали:

или

.

Из геометрического смысла производной следует:

;

.

В случае

имеем горизонтальную касательную с уравнением:

и вертикальную нормаль с уравнением:

.

В случае

имеем вертикальную касательную с уравнением:

и

горизонтальную нормаль с уравнением:

.

Пример 8. Для функции

в точке

имеем

см Пример

,

поэтому касательная к графику функции в этой точке будет вертикальной

и

будет совпадать с осью

, а нормаль будет горизонтальной

и будет совпадать с

осью

см рис

Пусть

путь, пройденный материальной точкой за время при

прямолинейном движении. Тогда

- путь, пройденный за время .

Отношение

средняя скорость движения на этом промежутке.

данный момент времени .

Скоростью движения точки в момент времени

(или мгновенной скоростью)

называется предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка

времени

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в

момент времени есть производная пути

по времени :

.

Аналогично устанавливается, что ускорение

прямолинейного движения

материальной точки в момент времени

есть производная скорости по времени :

.

2. Сила тока.

Пусть

количество электричества, протекающего через поперечное

сечение проводника за время . Тогда

- количество электричества,

протекающего за время . Отношение

средняя сила тока за промежуток .

Силой тока в момент времени называется предел средней силы тока при

стремлении к нулю промежутка времени

.

Таким образом, сила тока в момент времени

есть производная количества

электричества

по времени :

.

7

3. Теплоемкость тела.

Пусть

количество тепла, необходимого при нагревании тела от до

температуры

. Тогда

- количество тепла, необходимого при

нагревании тела на температуру

. Отношение

средняя теплоемкость при

нагревании от

до

.

Теплоемкостью тела при температуре

называется предел средней теплоемкости

при стремлении к нулю величины

.

Таким образом, теплоемкость тела при температуре

есть производная

количества тепла

по температуре

:

.

Обобщая вышеприведенные примеры, можно сформулировать физический смысл

производной:

если функция

описывает какой-либо физический процесс, то ее

производная

есть

скорость

протекания этого процесса.

производной); если ограничиться лишь значениями

(слева от точки

), то

получим определение производной слева (левосторонней производной):

;

.

.

Если

,

, но

, то

не существует.

В этом случае касательная к графику функции

в точке

также не существует, но в

левосторонняя

касательная

правосторонняя

касательная

8

В случае бесконечных значений производных справа и слева имеем следующую

картину:

- если

и

, то и

;

- если

и

, то и

.

В этих случаях касательная к графику в точке

является вертикальной (см. Пример 8).

Если

,

, или

,

,

т.е.

, то в этом случае

, при этом левосторонняя и

Так как

, то

не существует.

Геометрически это означает,

что в точке

касательная к графику

функции

не существует.

.

касательная

Здесь левосторонняя и правосторонняя

касательные вертикальны и совпадают.

Замечание.

В определении производной функции

в некоторой точке предполагалось,

что

внутренняя точка области определения

. Теперь можно допустить, что эта

содержало некоторый промежуток вида

или

, где

. Тогда

производная в точке будет пониматься как односторонняя производная.

1. Постоянная функция:

.

2.1.

,

натуральное число .

Например:

;

;

.

3. Степенная функция. Общий случай:

,

.

3.1.

;

;

при

;

.

;

3.2.

; в этом случае

.

;

если

если

.

если

Например:

;

.

4. Показательная функция:

, где

.

;

при

;

; в частности:

.

5. Логарифмическая функция:

, где

.

при

;

;

;

; в частности:

.

6. Тригонометрические функции.

6.1.

;

;

при

;