Вопросы к зачету
Введение в математический анализ
1. Множество всех действительных чисел , основные свойства. Модуль числа и его свойства. Неравенство треугольника. Числовая ось, промежутки, окрестности точек.
2. Границы числовых множеств. Понятия и числового множества, их существование для ограниченных множеств. Свойства и . Точки сгущения.
3. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.
|
= 1 + |
1 |
|
4. Монотонность и ограниченность последовательности |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
5. Понятие предела последовательности, его геометрический смысл. Предел постоянной последовательности. Единственность предела. Примеры.
6. Простейшие свойства сходящихся последовательностей.
7. Бесконечно малые величины. Примеры. Критерий сходимости последовательности. Свойства БМВ. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
8. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Правила вычисления пределов.
9. Бесконечно большие величины (последовательности). Связь между БМВ и ББВ. Арифметические операции над ББВ. Предел многочлена.
10. Неопределенные выражения. Примеры. Предел отношения многочленов. 11. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами:
предельный переход в неравенстве и о сжатой переменной. Примеры. 12. Вычисление пределов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 , |
|
|
> 0, > 1 , |
|
, |
|
> 1 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. Сходимость монотонной и ограниченной последовательности. Число . Лемма о вложенных промежутках.
13*. Общие признаки сходимости и расходимости Больцано-Коши. Пределы
последовательностей: = 112 + 212 + 312 + … + 12 и = 11 + 12 + 13 + … + 1. 14. Понятие предела функции в точке: определение на языке − и на языке
последовательностей. Геометрический смысл предела. Примеры.
15. Односторонние пределы функции в точке. Предел функции на бесконечности. Примеры.
16. Свойства пределов функций.
17. Бесконечно малые функции. Примеры. Критерии существования пределов. 18. Свойства бесконечно малых функций. Арифметические действия с пределами.
Предел элементарной функции.
19. Бесконечно большие функции. Примеры. Связь между БМВ и ББВ. Арифметические операции над ББВ. Пределы многочлена и рациональной функции на ∞.
20. Первый замечательный предел и следствия из него. 21. Второй замечательный предел и следствия из него.
22. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин (функций). Примеры. 23. Эквивалентные БМВ, их свойства. Таблица эквивалентностей. Главная часть БМВ.
Эквивалентные ББВ. Примеры.
23*. Существование предела монотонной и ограниченной функции. Общие признаки существования предела Больцано-Коши.
24. Понятие непрерывности функции в точке (5 определений). Примеры. Непрерывность элементарных функций.
25. Классификация точек разрыва. Примеры.
26. Свойства функций, непрерывных в точке.
27. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Больцано-Коши. 28. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса.
28*. Монотонность и непрерывность функций. Критерий непрерывности монотонной функции. Непрерывность обратной функции.
29. Понятие равномерной непрерывности функции. Примеры. Теорема Кантора.
30. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с к.ч. в алгебраической форме. Комплексно-сопряженные числа и их свойства.
31. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма к.ч. Модуль и аргумент. Умножение и деление к.ч. в тригонометрической форме.
32. Возведение комплексного числа в целую степень. Формула Муавра. Извлечение корня - й степени из к.ч. Решение квадратного уравнения.