Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ» Кафедра Биотехнических Систем

к.т.н., доц. Пустозеров Евгений Анатольевич

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Лекция 7 – Спектральные свойства стационарных процессов

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ

Разложение некоторой функции x(t) с периодом T в ряд Фурье имеет вид:

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайный процесс ξ(t) с периодом T, для которого M[ξk]=0, D[ξk]=σk2.

Его разложение в ряд Фурье:

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для случайного процесса, разложенного в ряд Фурье:

распределение Dξ по гармоническим составляющим ωk

составляет спектр мощности.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Увеличивая• количество гармоник ξk (увеличивая k в сумме ):

•Прямое преобразование Фурье:

•Обратное преобразование Фурье:

ПРИМЕРЫ СПМ

а – гармонический процесс; б – гармонический процесс + случайный шум

ПРИМЕРЫ СПМ

в – узкополосный случайный шум; г – широкополосный случайный шум

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Свойства спектральной плотности мощности (СПМ):

1.

2. - вещественная

3.

4.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Пусть ξ(t) – некоторый стационарный в широком смысле вещественный СП. Тогда СПМ и КФ выражаются следующим образом:

R ( ) 2 S ( ) Cos d

0

ПРИМЕРЫ СПМ

10