kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

x2

y2

z 2

1,

b2

a2

c2

где a,b,c - полуоси эллипсоида. Объем эллипсоида равен V

4

abc .

3

Если

a b c , эллипсоид называется трехосным. Если

a b c , то

вращении эллипса

x2

z 2

1 вокруг его малой полуоси. Если a b c , имеем

a2

c2

декартовой системе

координат

Oxyz

с началом

в

центре

симметрии

гиперболоида,

оси координат

которого

совпадают

с

осями

симметрии

гиперболоида, уравнения гиперболоида принимают канонический вид

x2

y2

z 2

1

(однополосный гиперболоид),

a2

b2

c2

где a,b - действительные полуоси, c - мнимая полуось;

x2

y2

z 2

1 (двуполостный гиперболоид),

a2

b2

c2

где a,b - мнимые полуоси, c - действительная полуось.

Гиперболоид неограниченно приближается к поверхности, называемой

асимптотическим конусом

x2

y 2

z 2

0

a2

b2

c2

параболы x2 2 pz вокруг своей оси симметрии.

Сечения гиперболического

параболоида плоскостями Oxz и Oyz параболы

x2 2 pz и

y2 2qz ,

z 0 ).

Пример 16.

Определим тип поверхностей второго порядка:

1)

5x2 y2 50z 0,

2) 4x2 16 y2 z2 16 0 ,

3) x2 3y2 18z 0 ,

4)

4)

x2

y2

z2

1 ‒ двуполостный гиперболоид,

4

5)

x2

y2

z 2

1 ‒ эллипсоид.

4

9

5.7. Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Написать общее уравнение прямой l , проходящей через точку

M 0 x0 , y0

и отсекающей от осей координат треугольник площадью S кв. ед.

1.

M 0 6,2 , S 3

2.

M 0 10, 6 , S 15

3.

M 0 4,12 , S 2

4.

M 0 5, 6 , S 2.5

1.

M 0 3,1 ,

l : 3x y 4 0

2.

M 0

2, 3 , l : x y 5 0

3.

M 0 4,0 , l : 2x 6 y 12 0

4.

M 0

1,3 , l : 2x 5y 1 0

Задача 2. Составить общие уравнения прямых линий, проходящих через

точку пересечения

прямых l1 : a1x b1 y c1 0

и l2 : a2 x b2 y c2 0

3. l1 : 4x 3y 7 0 , l2 : 5x 2 y 7 0 ,

l : x y 8 0

Задача 3. Заданы координаты вершин треугольника A(хA , y A ) , B xB , yB

и C xC , yC . Найти длину высоты треугольника AD и написать уравнение

перпендикуляра, опущенного из вершины C на сторону AB .

1.

A 6, 4 , B 3, 7 , C 3,2 ;

2.

A 3,2 , B 2, 5 , C 6, 1 ;

3.

A 2,5 , B 3,4 , C 4, 2 ;

4.

A 3,4 , B 2, 1 , C 1, 7 ;

Задача 4. Определить углы, образованные

пересечением плоскостей

1 : a1x b1 y c1z d1 0 и 2 : a2 x b2 y c2 z d2

0 . Найти расстояние от

точки M 0 x0 , y0 , z0 до плоскости 1.

M 0 x0 , y0 , z0

а) перпендикулярно

вектору n a,b,c ; б)

параллельно

нормальному

вектору плоскости

1 : a1x b1 y c1z d1 0 ;

в) и точку

M1 x1, y1, z1 и параллельно оси Ol1; г) проходящей через ось Ol2 .

M 0 5,3, 1

2, 4,1 ; б) 1 :x y z 7 0 ;

1.

а) n

в) M1 6,2, 3 ,

Ol1 Ox ; г) Ol2

Oy

M 0 1, 2,3

3, 4,5 ; б) 1 : 2x 3y 4z 6 0 ;

2.

а) n

в) M1 0,2,5 , Ol1 Oy ; г) Ol2

Oz

M 0 3,2,1

4,5, 3 ; б) 1 : 2x y z 10 0 ;

3.

а) n

в) M1 1, 1,1 , Ol1 Oz ; г) Ol2

Ox

M 0 2,4,3

1,3,2 ; б) 1 : 5x 2 y 2z 9 0 ;

4.

а) n

в) M1 6,0,4 , Ol1 Oy ; г) Ol2

Oy

Задача 6. Составить

уравнение

прямой

линии

l

в пространстве,

проходящей через точку M 0 x0 , y0 , z0 а) по направлению вектора

q m, n, p ;

б) параллельно прямой l1 ; в) и точку M1 x1, y1, z1 ; г) параллельно оси Ol .

3,7,2 ; б)

x 1

y 3

z 3

M 0 8,4, 5

а) q

l

:

;

1.

1

1

0

1

в) M1 3, 2, 3 ; г) Ol Ox

2,0,1 ; б) l

x 2

y 3

z

M 0 1, 2,3

а) q

:

;

2.

1

5

4

2

в) M1 0,2,5 ; г)

Ol Oz

5, 1,4 ; б)

x

y 1

z 2

M 0 2,3,0

а) q

l

:

;

4

3.

в) M1 1,1, 2 ; г)

1

2

1

Ol Oy

3,4, 1 ; б)

x 4

y

z 6

M 0 1,1, 1

а) q

l

:

;

4.

1

2

3

1

в) M1 3, 2,4 ; г) Ol Ox

Задача 7. Составить уравнение прямой линии l

параллельной прямой l1

и точку

M 0 x0 , y0 , z0 .

Найти углы, которые прямая линия

l1

составляет с

осями координат и прямой l2 .

M 0 0,1,0 , l1

x 2 y 5 0

,

l2

:

x 1

y 2

z 3

1.

:

3z 8 0

5

x

3

4

M 0 2,0,1 , l1

x 2z 1 0

,

l2

:

x 1

y 1

z 1

2.

:

2z 1 0

1

y

1

1

M 0 2, 3,0 , l1

x y 1 0

, l2

:

x

y

z

3.

:

0

x z 1

1

2

3

x y 2 0

x

y 2

z 2

4.

M 0 1,4, 1 , l1 :

, l2 :

1

y 2z 1 0

0

2

Задача

8.

Найти

уравнение

плоскости

проходящей через точку

M 0 x0 , y0

и прямую l :

a x b y c z d 0

, z0

1

1

1

1

a1x b1 y c1z d1 0

1.

M 0 1, 5,3

2.

M 0 3, 3,5

3x y 2z 6 0

2x 2 y z 8 0

l :

0

l :

x 3y z 3

2x 4 y z 4 0

3.

M 0 0, 6,2

4.

M 0 4,0,3

x 4 y z 10 0

3x y 2z 6 0

l :

2 y 6z 12 0

l :

3y z 3 0

3x

x

прямая линия l

составляет с полученной плоскостью .

1.

M1 3,4,2 , M 2

4,5,2 , M 3

7,3, 2 , l :

x 2

y

z 1

2

3

1

2.

M

2,3,0 , M

1,2,2 , M

1,0, 3 , l :

x 3

y 2

z

1

2

3

2

4

1

3.

M1 3, 1,2 , M 2 4, 1, 1 ,

M 3 2,0,2 , l :

x

y

z 1

1

2

2

4.

M1 3,4,6 , M 2

3, 2, 3 ,

M 3 6,3,2 , l :

x 3

y 1

z 2

4

2

3

1.

x2

y2 2x 2 y 14 0

2.

x2

y2

25 0

x2 y2 50x 4 y 25 0

x2 y2 2x 4 y 31

0

3.

x2

y2 2x 3 0

4.

x2

y2

10x 4 y 13 0

x2 y2 8x 6 y 11 0

x2 y2 8x 4 y 29

0

Задача 11. Эллипс, симметричный относительно осей координат,

проходит через точки M1 x1, y1 ,

M 2 x2, y2

. Найти его полуоси, координаты

фокусов и эксцентриситет.

M1 2,

, M 2 0,2

2. M1 2

1.

3

3,1 , M 2 15, 1/ 2

M1 5 / 2,

/ 4 ,

6

3.

M1 1, 4 2 , M 2 2,2

5

4.

M 2 2,

15 / 5

Задача 12. Найти для гиперболы действительную и мнимую полуоси,

координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот.

1.

x2

y2

2.

x2

y2

16

4 1

36

16 1

3.

y2

x2

4.

2

9 y

2

64x 18 y 89 0

25

49 1

16x

1.

x2

y2

2.

x2

y2

25

9

1

4

9

1

3.

x2

y2

4.

x2

y2

9

16

1

8

5

1

Задача 14. Составить уравнение параболы, проходящей через точку

M x, y

и

начало

координат

симметрично относительно оси Ol . Найти

координаты ее фокусов и уравнение директрисы

M 2, 4 , Ol Ox

M 2

1.

2.

2,2 , Ol Oy

3.

M 8, 8 , Ol Oy

4.

M 1,5 ,

Ol Ox

X T x

x

x

? – план

1 n

1

2

n

max

F ( X ) C X opt

– функция цели, где c j R, j 1, n

1 n n 1

min

A X

B

– ограничения, где aij , bi R; i 1, m, j 1, n

m n n 1

m 1

X T

x

x

x

0

д

n 1

n 2

n m

1 m

Первая задача:

Вторая задача:

X T x

x

x

?

Y T y

y y

?

1 n

1

2

n

1 m

1

2

m

(план)

(план)

F ( X ) C X max

Z (Y ) BT Y

min

1 n n 1

1 m m 1

(функция цели)

(функция цели)

A X B

AT Y CT

m n n 1

m 1

n m m 1

n 1

(ограничения)

(ограничения)

X 0

Y

0

n 1

m 1

(естественные ограничения)

(естественные ограничения)

Каноническая форма взаимно-двойственных

задач

включает

дополнительные неотрицательные переменные

X

д

, Y

.

д

m 1

n 1

X ? Xд ?

Y ? Yд ?

n 1

m 1

m 1

n 1

F ( X ) C X max

Z (Y ) BT Y

min

1 n n 1

1 m m 1

A X

E X д B

AT Y E Y CT

m n n 1 m m m 1

m 1

n m m 1 n n

д

n 1

n 1

X 0, X д 0

Y 0, Yд 0

n 1

m 1

m 1

n 1

Теорема 2.

Решения

взаимно-двойственных

задач

линейного

программирования

X o,Y o тогда и только тогда будут оптимальными, когда

выполняются следующие условия:

a yo c

yo

a

xo

xo

0, j 1, n ;

b 0, i 1, m

j

ij

i

j

i

ij

j

i

i

j

Примечание. Между переменными взаимно-двойственных задач

существует взаимно-однозначное соответствие:

X Yд , т.е.

x j ym j ,

j 1, n

X д Y , т.е. xn i yi ,

i 1,m

Согласно теореме 2:

xo yo

yo xo

0, j 1, n ;

0, i 1, m

j

m j

i

n i

Теорема 3. Для оптимальных решений взаимно двойственных задач

линейного программирования

X o,Y o

при достаточно малых изменениях b

выполняется следующее свойство: F X o yo b , i

i

1, m

.

i

i

3

12

A

2

2

(ед.) − нормы расхода ресурсов на производство продукции,

0

2

C 4

6

(д. е.) − прибыль от реализации одной единицы продукции,

60

B

22

(ед.) − запасы ресурсов у предприятия.

7

99

x

X 1

? – план выпуска продукции

2 1

x2

F C X 4x1 6x2

max – прибыль (функция цели)

1 2 2 1

3x1 12x2 60

A X

B

2x1 2x2 22 – ограничения на ресурсы

3 2

2 1

3 1

2x2 7

X T

x

x

x 0

− остатки ресурсов.

д

3

4

5

1 3

3x1 12x2 x3 60

A X E X д

B

2x1

2x2 x4 22

3 2 2 1 3 3 3 1

3 1

2x2 x5 7

Y T y

y

2

y

? − цены ресурсов

1 3

1

3

Z BT Y

60 y

22 y

7 y

min

1 3

3 1

1

2

3

AT Y CT

3y

2 y

4

1

2

2 3 3 1

2 1

12 y1 2 y2 2 y3 6