Глава 2. Примеры решения задач по комбинаторике

2.1 Задачи на размещения без повторений

Пример 1. Дано множество S={6,8,91} и k=2. Выпишите все размещения этого множества по 2.

Решение: k=2, т.е. мы должны выписать все 2-элементные упорядоченные подмножества множества S.

<6,8>,<6,91>,<8,91>,<8,6>,<91,6>,<91,8>.

Ответ. <6,8>,<6,91>,<8,91>,<8,6>,<91,6>,<91,8>.

Пример 2. Сколько существует пятизначных чисел с разными цифрами?

Решение: Поскольку нам нужны пятизначные числа, это будет число размещений из 10 по 5, но мы должны исключить те числа, у которых вместо первой цифры стоит 0, т.е. нам нужно вычесть число размещений из 9 по 4.

Воспользуемся формулой (2):

.

Мы могли воспользоваться формулой (1) и сразу получить

Ответ. пятизначных чисел.

Пример 3. Сколькими способами можно расставить 17 книг на 3 книжных полках?

Решение: Воспользуемся формулой (2):

.

Ответ. 4080 способами.

Пример 4. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 0,4,5,6,7,9, кратных 5? Кратных 2?

Решение: а). Чтобы получить числа, кратные 5, нужно, чтобы последняя цифра 0 или 5. Кроме того нужно вычесть из результата те числа, у которых первой цифрой был 0.

Посчитаем числа, последней цифрой которых будет 0, для этого зафиксируем его на последнем месте. В этом случае мы получаем размещения из 5 по 2.

Найдем количество чисел, оканчивающиеся на 5. Аналогично получаем число размещений из 5 по 2.

Суммируем полученные числа и отнимаем от суммы (количество чисел с 0 на месте первой цифры).

.

б). Чтобы получить числа, кратные 2, нужно, чтобы последняя цифра у них была четной. Нам даны 6 цифр, 3 из которых четные, т.е.:

.

Ответ. а) 20 чисел; б) 40 чисел.

Пример 5. В редакционной коллегии школы 8 учащихся, необходимо выбрать главного редактора, двух журналистов и фотографа. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: Поскольку нам нужно выбрать троих учащихся независимо друг от друга (главного редактора и двух журналистов, и фотографа), мы воспользуемся правилом произведения. Сначала мы выбираем одного человека из 8 (редактора), затем 2 из оставшихся 7 (журналистов), и далее одного из 5. Причем, выбирая 2 журналистов из 7 учащихся, мы должны учесть, что в данном случае нам не важен порядок (так как они между собою будут равноправны), т.е. это будет не размещение, а сочетание:

.

Ответ. 1008 способов.

Замечание! Сочетанием из n по k называется k-элементное подмножество n-элементного множества. Число сочетаний без повторений вычисляется по формуле: .

2.2 Задачи на размещения с повторениями

Пример 1. Множество Р={2,4,5}. Перечислите все размещения этого множества по 2 с повторениями.

Решение: <2,2>,<2,4>,<4,2>,<2,5>,<5,2>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>.

Мы можем проверить себя, вычислив число данных размещений, воспользовавшись формулой (3):

.

Число размещений, которое мы получили, равно 9.

Ответ. <2,2>,<2,4>,<4,2>,<2,5>,<5,2>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>.

Пример 2. Сколько пятизначных чисел мы можем получить из цифр 2,4,9?

Решение: Нам нужно получить пятизначные числа, тогда как даны 3 цифры, значит, мы будем вычислять число размещений с повторениями:

.

Ответ. 243 числа.

Пример 3. Сколько трехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0,1,4,5,8 (цифры могут повторяться)? А кратных 2?

Решение: У нас есть 5 цифр и нужно составить трехзначные числа с повторяющимися цифрами, т.е. мы будем находить число размещений с повторениями, и чтобы число было кратно 5, его последней цифрой должен быть 0 или 5. Значит, мы воспользуемся правилом произведения: . Однако нам надо исключить числа, У которых на первом месте стоит 0. Тогда искомое число будет равно:

.

Мы могли посчитать это другим способом. Нам необходимо получить трехзначное число, кратное 5, т.е. на первое место мы можем поставить 1 из 4 цифр (все, кроме 0), на второе – 1 из 5 цифр и на третье – 1 из 2 цифр (0 или 5), т.е.:

.

Вычислим количество чисел, кратных 2. На первом месте у нас может стоять любая цифра, кроме 0, т.е. , на втором – любая из пяти цифр, т.е. , и на третьем месте может стоять 0,4 и 8, т.е. . Тогда искомое число мы можем вычислить следующим образом:

.

Ответ. 40 чисел, кратных 5; 60 чисел, кратных 2.

Пример 4. Сколько двузначных чисел можно составить из четных цифр, исключая 0.

Решение: {2,4,6,8}, n=4.

.

Ответ. 16 чисел.

Пример 5. В автобусе по маршруту №210 сидит 6 пассажиров. До конечной осталось 10 остановок. Сколькими способами пассажиры могут выходить из автобуса на каждой остановке, начиная с 10 с конца?

Решение: 6 пассажиров, т.е. n=6; осталось 10 остановок и конечная, т.е. в сумме 11, т.е. k=11. Распределим 6 пассажиров по 11 остановкам. Пассажиры могут выходить как по одному, так и все вместе, т.е. будем искать число размещений с повторениями:

.

Ответ. 177156 способами.

Пример 6. Сколькими способами можно разместить 4 кресла по трем комнатам дома, если каждая из комнат может вместить все 4?

.

Ответ. 81 способом.