МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики, механики и компьютерных наук

Им. И.И. Воровича

«РАЗМЕЩЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дискретной математике

по направлению 44.03.01.61 – Педагогическое образование профиль подготовки – "Математика"

Уровень образования

Высшее, бакалавриат

Форма обучения

Очная

Исполнитель –

Студент 2 курса

Кочеткова Елена Витальевна

Научный руководитель –

к.ф.-м.н.,доц. – Поляков Николай Алексеевич

Ростов-на-Дону

2017

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. Определение и история возникновения понятия размещения 5

1.1 Комбинаторика как раздел математики. История возникновения 5

1.2 Понятие размещения. Число размещений с повторениями и без повторений 7

1.3 Число подмножеств конечного множества 9

Выводы к главе 1 11

Глава 2. Примеры решения задач по комбинаторике 12

2.1 Задачи на размещения без повторений 12

2.2 Задачи на размещения с повторениями 15

Выводы к главе 2 18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19

Список литературы 21

Введение

Темой данной курсовой работы являются размещения и их свойства. В данной работе будет рассматриваться комбинаторика как раздел математики в целом, в том числе история ее возникновения, и ее элементы в частности, а конкретно число размещений из n элементов по k.

Актуальность исследования комбинаторики в целом и в том числе этой ее области заключается в широком спектре ее использования, как в разных научных отраслях, так и в обиходе. Комбинаторика является одним из наиболее популяризованных разделов математики, поскольку, кроме научного интереса у ученых, она вызывает и обычный живой интерес у людей, не вовлеченных в научную сферу.

В ходе данной работы я ставлю перед собой задачи:

1. Проанализировать и изучить различную литературу по темам «Дискретная математика» и «Комбинаторика»;

2. Изучить исторические сведения, касающиеся возникновения комбинаторики как раздела математики;

3. Проанализировать и изучить теоретический материал по теме «Размещения»;

4. Разобрать на практических примерах особенности чисел размещений с повторениями и без повторений.

Целью данной курсовой работы является исследование путей развития комбинаторики как раздела математической науки, а так же анализ практических задач, решение которых опирается на правила комбинаторики и различные относящиеся к ней вычислительные формулы.

Объектом исследования является история становления комбинаторики как науки и ее теоретические и практические основы.

Предметом исследование являются элементы комбинаторики, а в особенности число размещений.

Данная курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Глава 1. Определение и история возникновения понятия размещения

1.1 Комбинаторика как раздел математики. История возникновения

Комбинаторика – это раздел математики, занимающийся изучением дискретных объектов, множеств (сочетаний, перестановок, размещений и перечисления элементов) и отношений на них (к примеру, частичного порядка). Комбинаторика имеет связи с различными областями математики, такими как алгебра, геометрия, теория вероятностей, а так же имеет широкий спектр применения в разных областях знаний (в том числе в информатике, генетике и статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, в 1666 году опубликовавшим свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Однако история комбинаторики уходит намного дальше в прошлое. Некоторые ее элементы были известны, к примеру, в Индии еще во II веке до н.э., кроме того встречаются упоминания о близких к комбинаторике вопросах в китайских рукописях V в. до н.э. (например, в рукописи «Книга Перемен»). Также определенные знания в этой области имели древние греки – труды многих древнегреческих ученых так или иначе пересекались с областью изучения комбинаторики. Хрисипп (III век до н. э.) и Гиппарх (II век до н. э.) подсчитывали, сколько следствий можно получить из 10 аксиом, а Аристотель, например, при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов.

В Средние века также были известны ученые, которых интересовала данная область математической науки. Так, например, в XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

Но как научная дисциплина комбинаторика сформировалась уже в XVII веке. В 1656 г. французский автор Бельский Аркадий Александрович опубликовал свой труд «Теория и практика арифметики», в котором одна из глав посвящена сочетаниям и перестановкам. А немногим позже Блез Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. Сам же термин «комбинаторика», как уже говорилось ранее, придумал Годфрид Вильгельм Лейбниц, опубликовав «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, данный термин Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Его ученик Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период происходит формирование терминологии нового раздела математической науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году); термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя этот термин встречался и ранее). Бернулли использовал также и термин «размещение» (arrangement).

Окончательно в качестве самостоятельного раздела математики комбинаторика сформировалась в трудах швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонарда Эйлера.