2.4. Практическая часть

1. Реализуйте в программе расчет амплитудного спектра путем прямого дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

2. Определите основную частоту сигнала.

3. Сформируйте на Функциональном генераторе гармонический сигнал с частотами 500 Гц, 1000Гц, 1500Гц, 3000 Гц, 10000Гц, 200000Гц. Определите при каких частотах значение Основной частоты рассчитывается не верно. Объясните причины.

4. Создайте вторую версию программы с реализацией расчета амплитудного спектра путем прямого быстрого преобразования Фурье (БПФ).

5. Сравните работу двух программ при значении константы подключенной к входу Record Length элемента NI ELVISmx Oscilloscope равном 5000.

Контрольные вопросы

1. Что такое ДПФ и по какому числу частотных выборок оно вычисляется?

2. Как проявляется во временной области дискретизация сигнала по частоте?

3. Как определяется ОДПФ и отличается ли оно от исходной последовательности?

4. Как используется ДПФ для вычисления свертки?

5. Какова природа размножения спектров при дискретизации сигналов по времени?

6. В чем заключаются взаимосвязь и отличие спектров дискретного и аналогового сигналов?

7. Как по известному спектру аналогового сигнала определить спектр соответствующего ему дискретного сигнала?

8. В чем заключается явление наложения спектров при дискретизации сигналов?

9. Можно ли по известному спектру дискретного сигнала найти спектр соответствующего ему аналогового сигнала?

10. В чем заключается алгоритм БПФ с прореживанием по времени?

12. Как оценивается эффективность алгоритма БПФ?

Лабораторная работа №3 Аппаратно-программный стенд для построения ачх четырёхполюсников

Цель работы. Разработать стенд для построения АЧХ четырехполюсника. Исследовать АЧХ заданного четырехполюсника.

3.1. Теоретическая часть

Пассивный четырехполюсник представляет собой электрическую цепь, внутри которой имеется соединение элементов , и .

Рис. 3.1. Обобщенная комплексная схема замещения четырехполюсника

АЧХ четырехполюсника - зависимость модуля передаточной функции системы от частоты. АЧХ показывает, во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот.

Передаточная функция и частотная характеристика дискретной системы

Передаточная функция аналоговой системы определяется отношением преобразований Лапласа ее выходного и входного сигналов: . Операторное представление описывающих такие системы дифференциального уравнения и интеграла свертки дает общие выражения для передаточных функций аналоговых систем, соответственно, в виде дробнорациональной функции комплексной переменной :

(3.1)

и в виде преобразования Лапласа импульсной характеристики системы :

. (3.2)

Корням полиномов числителя и знаменателя передаточной функции (3.1) соответствуют нули и полюсы системы, через которые передаточная функция представляется в так называемой нуль−полюсной форме:

, (3.3)

где – нормирующая константа.

По передаточной функции аналоговой системы непосредственно находится ее частотная характеристика:

,

которая в соответствии с (3.2) выражается и как Фурье-преобразование ее импульсной характеристики:

.

Передаточной функцией дискретной системы называется отношение -образов выходного и входного сигналов системы:

. (3.4)

Конкретные ее выражения, получаемые -преобразованием разностных уравнений

,

имеют при таком определении вид дробно-рациональной или целой рациональной функций. В результате решение разностного уравнения дискретной системы заменяется более простым решением алгебраических уравнений, описывающих ее передаточную функцию (аналогично операторному методу решения дифференциальных уравнений для аналоговых систем). По известной передаточной функции системы и -преобразованию входного сигнала путем обратного -преобразования их произведения можно аналитически найти отклик системы на заданное входное воздействие:

.

Из -преобразования левых и правых частей ДВС получим

следует, что передаточная функция дискретной системы является -преобразованием ее импульсной характеристики:

. (3.5)

Импульсная характеристика системы соответствует, в свою очередь, обратному -преобразованию ее передаточной функции:

. (3.6)

Частотная характеристика дискретной системы, определяемая отношением Фурье-образов выходного и входного сигналов, с учетом связи между - и Фурье-преобразованиями

(3.7)

находится по передаточной функции системы простой заменой на :

. (3.8)

С учетом этой же связи из (3.5) следует, что частотная характеристика дискретной системы, как и аналоговой, является Фурье-преобразованием ее импульсной характеристики:

, (3.9)

а импульсная характеристика – обратным преобразованием Фурье частотной характеристики:

. (3.10)

Рассмотрим особенности частотных характеристик дискретных систем.

Легко заметить, что как Фурье-образы дискретных сигналов, так и частотные характеристики дискретной системы (3.8), (3.9) представляют собой функции относительной или нормированной частоты , называемой также цифровой частотой. Значениям круговой частоты в пределах ( ) и ( ) соответствуют значения цифровой частоты в пределах ( ) и ( ). Частотная характеристика дискретной системы как функция цифровой частоты определяется выражениями:

; (3.11)

. (3.12)

Заданная таким образом частотная характеристика не зависит от значения частоты дискретизации , а соответствующая ей импульсная характеристика имеет период дискретизации .

Полезно и еще одно возможное представление частотной характеристики в виде отношения мгновенных значений выходного и входного комплексных гармонических сигналов системы в установившемся режиме:

при .

Модуль и аргумент частотной характеристики дискретной системы, представленной в показательной форме: = = , обладают свойством четной и нечетной симметрии: и и называются, соответственно, амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками системы. Это же относится и к реальной и мнимой частям комплексной частотной характеристики, первая из которых является четной функцией частоты, а вторая – нечетной.

Из определения частотной характеристики дискретной системы как преобразования Фурье импульсной характеристики (3.9), (3.12) следует также свойство ее периодичности с периодом по частоте или (рис. 3.2). Оно присуще Фурье-преобразованиям любых дискретных последовательностей. Математически это объясняется периодичностью комплексной экспоненты :

или

,

где

Рис. 3.2. Примерный вид АЧХ цифрового полосового фильтра

При математическом анализе и синтезе цифровых фильтров учитывается один период их частотной характеристики в основной полосе частот от 0 до . Требования к ЦФ и технические описания их характеристик приводятся, как и для аналоговых фильтров, только для реальных положительных частот, в данном случае в диапазоне ( ).

Зависимость частотной характеристики ЦФ от частоты дискретизации сигнала, отождествляемой с частотой дискретизации импульсной характеристики фильтра, является еще одной важной для понимания особенностью частотных свойств таких фильтров. Изменение частоты дискретизации с на изменяет масштаб частотной характеристики по обеим осям в раз, пропорционально сжимая или растягивая частотную характеристику ЦФ (это отвечает одному из свойств преобразования Фурье [1]).

Частотной характеристике соответствуют новые значения граничных и центральных частот ЦФ , связанные с их исходными значениями (например, , , на рис. 3.1) соотношением . Следовательно, с изменением частоты дискретизации сигнала частотная характеристика ЦФ автоматически перестраивается к новому значению частоты дискретизации.

Как показано выше, от абсолютного значения частоты дискретизации не зависит частотная характеристика ЦФ, заданная функцией цифровой частоты : . Это означает, что ЦФ с центральной частотой частотной характеристики будет откликаться на дискретные сигналы с частотами , соответствующими различным значениям частот дискретизации этих сигналов.

Таким образом, периодичность, зависимость от частоты дискретизации и конечный верхний предел граничной частоты, равный , принципиально отличают частотные характеристики дискретных систем и цифровых фильтров от аналоговых.