Лабораторная работа №2 Спектр дискретных сигналов

Цель работы. Изучить вопросы спектрального анализа дискретных сигналов. Исследовать алгоритмы дискретного преобразования Фурье.

2.1. Теоретические сведения

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) является базовым алгоритмом цифровой обработки сигналов в частотной области. Благодаря наличию эффективных алгоритмов его вычисления – алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) – ДПФ широко используется для целей цифровой фильтрации и спектрально-корреляционного анализа сигналов.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), соответствует выборкам непрерывного преобразования Фурье дискретной последовательности конечной длины , вычисленным на дискретных равностоящих частотах (рис. 2.1):

, (2.1)

где – шаг дискретизации по частоте; – число вычисляемых частотных выборок ДПФ в полосе частот , в общем случае не равное ; – номер частотной выборки.

В соответствии с числом вычисляемых частотных выборок ДПФ называют -точечным и представляют как в виде функции (2.1) дискретной частоты , так и номера частотной выборки :

,

. (2.2)

Рис. 2.1. Дискретизация сигнала в частотной области

Выбор шага дискретизации по частоте при вычислении ДПФ определяется возможностью восстановления сигнала и его непрерывного спектра по частотным выборкам ДПФ.

Восстановление сигнала по дискретизированному по частоте спектру осуществляется с помощью обратного ДПФ (ОДПФ). Как и прямое ДПФ (2.1), ОДПФ может быть получено путем дискретизации по частоте непрерывного обратного преобразования Фурье:

.

Используя замены ; ∑; , находим

. (2.3)

Сигнал периодичен с периодом : , Он является периодическим повторением сигнала : , так как дискретизация сигнала в частотной области приводит к его периодизации во временной.

При , , – сигнал на интервале точно совпадает с исходным сигналом , дополненным нулевыми отсчетами, периодически продолжаясь за пределами этого интервала (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Сигнал, соответствующий ОДПФ при

ОДПФ, вычисляемое на интервале , обеспечивает в этом случае точное восстановление сигнала по его ДПФ.

При ( ) имеет место перекрытие периодизированных с периодом последовательностей (явление наложения во временной области), так что при (рис. 2.3). Это исключает возможность точного восстановления сигнала по его дискретизированному спектру.

Рис. 2.3. Сигнал, соответствующий ОДПФ при

Соотношение определяет условие выбора шага дискретизации по частоте , которое отвечает также теореме Котельникова в частотной области: спектр сигнала конечной длительности может быть точно восстановлен по его частотным выборкам, взятым с вышеуказанным шагом по частоте .

Вычисление ДПФ по числу точек , превышающему длину последовательности (дополняемую в этом случае ( ) нулевыми отсчетами), эквивалентно интерполяции по частоте спектра, дискретизированного с максимально возможным шагом . Дополнение нулевыми отсчетами используется для повышения частотного разрешения ДПФ.

Таким образом, -точечное ДПФ соответствует спектру периодизированной с периодом исходной последовательности конечной длины . ДПФ совпадает также с дискретным рядом Фурье периодической последовательности с периодом , имеющей линейчатый спектр.

ОДПФ (2.3), вычисляемое по частотным выборкам ( -точечное ОДПФ), как и ДПФ (2.2) представляют также функцией номера частотной выборки :

,

. (2.4)

Множитель может присутствовать в выражении либо ОДПФ, либо ДПФ.

Вычисление ОДПФ и ДПФ в соответствии с (2.2), (2.4) требует (при ) операций умножения и операций сложения комплексных чисел. Оба преобразования используют единый вычислительный алгоритм, основанный на их достаточно простой взаимосвязи:

,

где − операция комплексного сопряжения.

ДПФ обладает всеми свойствами непрерывного (по частоте ) преобразования Фурье дискретных последовательностей, в том числе его периодичностью и симметрией.

Наиболее важной для цифровой фильтрации является связь ДПФ и свертки дискретных последовательностей. Линейная свертка определяется для конечных последовательностей длиной и длиной :

.

Сигнал линейной свертки (рис. 2.4) имеет длину . Чтобы применить в данном случае теорему о свертке, ДПФ последовательностей и необходимо вычислить по одинаковому числу точек , соответствующему длине последовательности , с одинаковым шагом дискретизации по частоте , т.е.

или

, .

При этом последовательности и дополняются , нулевыми отсчетами:

, ,

что обеспечивает в частотной области интерполяцию их дискретизированного спектра.

Рис. 2.4. Иллюстрация ДВС

Сигнал в соответствии с данным свойством также может быть определен с помощью ОДПФ от произведения -точечных ДПФ свертываемых последовательностей , :

(2.5)

или

.

Выражение (2.5) представляет алгоритм вычисления линейной свертки конечных последовательностей в частотной области. При использовании рассматриваемых далее алгоритмов быстрого преобразования Фурье его называют также алгоритмом быстрой свертки. Очевидно, что ДПФ линейной свертки последовательностей конечной длины , эквивалентно ДПФ круговой свертки последовательностей, полученных путем периодизации их с периодом . Вычисление линейной свертки с помощью ДПФ по числу точек приводит к наложению во временной области, которое может быть также наглядно интерпретировано посредством круговой свертки последовательностей , , периодизированных с периодом .

Спектральную плотность, или спектральную функцию, дискретного сигнала, называемую для упрощения спектром, можно найти, дискретизировав по времени преобразование Фурье соответствующего ему аналогового сигнала . Заменив на , интеграл на сумму и на , получим

. (2.5)

Это выражение имеет размерность спектральной плотности [сигнал/частота].

Кроме того, спектр может быть найден и прямым преобразованием Фурье дискретного сигнала, представленного функцией непрерывного времени (1.1):

.

Используя фильтрующее свойство -функции , получим

. (2.6)

Выражение (2.6) имеет размерность [сигнал], так как является Фурье преобразованием сигнала , размерностью [сигнал/время] или [сигнал⋅частота].

Таким образом, выражения (2.5) и (2.6) отличаются только масштабным (и размерным) множителем . Обычно для спектра дискретного сигнала (его непрерывного преобразования Фурье) используется принимаемое далее определение (2.6). С помощью выражения (2.5) спектральная плотность дискретного сигнала при необходимости приводится к соответствующей ей размерности [В/Гц], как и у аналогового сигнала. Обозначают спектр дискретного сигнала как с индексом «д» ( ) – при совместном описании дискретных и аналоговых сигналов, так и без индекса ( ), если рассматриваются только дискретные сигналы.

В силу периодичности комплексной экспоненты

спектр дискретного сигнала, в отличие от аналогового, периодичен по частоте с периодом : , (рис. 1.2). Периодизация спектра обусловлена дискретизацией сигнала по времени. Справедливо и обратное утверждение о периодичности сигналов с дискретным по частоте (или линейчатым) спектром. Оба эти свойства отвечают фундаментальному положению о взаимосвязи дискретизации и периодизации сигналов во временной и частотной областях.

Дискретный сигнал можно вычислить по его спектру (2.6) в основной полосе частот с помощью обратного преобразования Фурье:

. (2.7)

Выражение (2.7) получается дискретизацией по времени непрерывного обратного преобразования Фурье аналогового сигнала

путем замены на и использования вместо спектральной плотности аналогового сигнала соответствующей ей по размерности спектральной плотности дискретного сигнала в полосе частот .

Связь между спектрами дискретного и аналогового сигналов находится на основе определения дискретного сигнала (1.1), в котором дискретизирующая функция представляется или заменяется аппроксимирующим ее рядом Фурье

. (2.8)

Коэффициенты ряда

,

соответствуют равномерному дискретному (или линейчатому) спектру этой периодической функции.

Преобразование Фурье сигнала (2.8) при приводит к следующему выражению спектра дискретного сигнала через спектр соответствующего ему аналогового сигнала:

.

(2.9)

Для спектра дискретного сигнала, определяемого (2.5), эта связь имеет вид

. (2.10)

Из (2.9) следует, что спектр дискретного сигнала с точностью до постоянного множителя (а в (2.10) – непосредственно) равен сумме спектров аналогового сигнала , смещенных по частоте на . Перенос спектра на частоты вызван умножением аналогового сигнала на множество комплексных гармонических сигналов , являющихся гармониками дискретизирующей функции . Он физически объясняет явление размножения, или периодизации спектров при дискретизации, которое математически обосновано выше.

Если сигнал с финитным спектром дискретизируется с частотой (рис. 2.5), спектр дискретного сигнала в основной полосе частот отличается от спектра аналогового сигнала:

.

Периодизация спектра при дискретизации приводит в данном случае к перекрытию и суммированию его с соседними смещенными по частоте спектрами ( на рис. 2.5). Это явление называют наложением спектров при дискретизации. Связанные с ним погрешности дискретизации также называют погрешностями, или искажениями наложения. При наложении невозможно точное восстановление аналогового сигнала по его дискретным выборкам в соответствии с (1.2).

Графически при дискретизации сигналов с частотой, не отвечающей теореме отсчетов Котельникова, происходит сворачивание полос спектра аналогового сигнала, выходящих за основную полосу частот дискретного сигнала , внутрь этой полосы путем однократного (рис. 2.5) или многократного их зеркального отражения от ее границ, т.е. вертикальных линий, соответствующих граничным частотам .

Если сигнал конечной длительности с неограниченным по частоте, но затухающим спектром (рис. 2.6), то наложение спектров здесь имеет место при любом значении частоты дискретизации, но уровни смещенных по частоте спектров, перекрывающиеся в основной полосе частот, уменьшаются с ростом частоты дискретизации.

Восстановленный с помощью идеального ФНЧ или интерполяционного ряда Котельникова сигнал

имеет ограниченный по частоте спектр, бесконечную длительность и отличается по форме от сигнала . Частота дискретизации сигнала конечной длительности и минимально необходимое число его отсчетов или выборок , называемое базой сигнала , связываются в данном случае с некоторой частотой его спектра , условно принимаемой за максимальную. Она является граничной частотой финитного спектра восстановленного сигнала , совпадающего в полосе частот с периодическим по частоте спектром дискретного сигнала .

Рис. 2.6. Спектральные преобразования при дискретизации аналогового сигнала конечной длительности

Рис. 2.7. График преобразования частот при дискретизации сигнала

С наложением спектров при дискретизации реальных сигналов связано также явление подмены или маскирования частот. Оно обусловлено тем, что высокочастотные составляющие сигнала, а также внешние шумы или помехи с частотами при дискретизации трансформируются (преобразуются, свертываются) в основную полосу частот дискретного сигнала, создавая помехи наложения на частотах . В общем случае такие частотные составляющие либо отсутствуют во входном сигнале, либо накладываются на существующие, искажая исходный спектр. Например, частота аналогового сигнала на рис. 2.5 преобразуется в частоту дискретного сигнала с изменением знака фазы. Говорят, что она подменяет частоту или маскируется под частоту , которой во входном сигнале могло и не быть. График преобразования частот аналогового сигнала и дискретного сигнала показан на рис. 2.7.

Ослабить уровень помех наложения можно, только ограничив полосу частот дискретизируемого сигнала, приведя ее в соответствие с частотой дискретизации сигнала. В этом и заключается роль аналогового ФНЧ на входе системы ЦОС, как и его название − противомаскировочный.

Частота дискретизации определяет скорость обработки сигнала и требуемое быстродействие АЦП и процессора ЦОС. Поэтому в каждом конкретном случае стремятся к ее минимально возможному значению, учитывающему особенности дискретизируемого сигнала и цели его обработки. Сложность выбора частоты дискретизации в соответствии с общим условием связана с неопределенностью или условностью верхней границы спектра реальных аналоговых сигналов .