7. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Независимость дискретных случайных величин.

Опр. Закон распределения двух с.в. ξ1 и ξ2

ξ1 v ξ2 ->	b1	b2	…	bm	…
a1	p11	p12	…	p1m	…
a2	p21	p22	…	p2m	…
….
an	pn1	pn2	…	pnm	…
....

Pnm – вероятность того, что Р(ξ1 = an, ξ2 = bm), ξ1 примет значение an, a ξ2 значение bm

0 <= Pnm <= 1

Сумма всех Pnm = 1

Опр. Случ величины ξ1 и ξ2 независимы, если вероятность

Р(ξ1 = а, ξ2 = в) = Р(ξ1 = а) * Р(ξ2 = в) для любых а,в

если ξ1 и ξ2 независимые => из законов распределения каждой случайной величины можно получить совместный закон распределения (умножения)

Р(ξ1 = а) * Р(ξ2 = в)

иначе нельзя

8. Математическое ожидание, свойства.

Свойства мат ожидания:

• Мат ожидание – число

• EC = C

• E(ξ+C) = E ξ +C

• E(ξ*C) = E ξ * C

• E(ξ+h) = E ξ + Eh

• E(a ξ + b h + c) = aE ξ + bEh + c

a,b,c – числа

• если ξ и h независимы, то E(ξ*h) = E ξ * Eh

9. Дисперсия, свойства.

Опр. Дисперсия D ξ – характеристика отклонений значений случ.величины от ее мат. ожидания

D ξ = E(ξ - E ξ)²

Cвойства:

• D ξ – число

• D ξ = E(ξ-E ξ)²= E(ξ² - 2 ξ * E ξ + (E ξ)²) = E(ξ²) – E(2 ξE ξ) + E(E ξ)² = E ξ² – 2E ξE ξ + (E ξ)² = E(ξ²) – 2(E ξ)² + (E ξ)² = E(ξ²) – (E ξ)²

D ξ = E(ξ)² – (E ξ)²

• D ξ >=0. D ξ = 0  ξ = C

• D(ξ+C) = D ξ, потому что при сдвиге на константу разброс не увеличивается

• D(C* ξ) = E(C ξ – E(C ξ))² = E(C* ξ - CE ξ)² = E[C(ξ - E ξ)]² = C² D ξ

=> D(C ξ) = C² * D ξ

• если ξ и h независимы, то D(ξ+h) = D ξ + Dh

• если ξ и h независимы, то D(a ξ + b h+ c) = a²D ξ + b²Dh

10. Коэффициенты ковариации и корреляции, свойства.

Опр. ковариация двух с.в. ξ и h

cov(ξ;h) = E[(ξ - E ξ)(h – Eh)] = E(ξ*h) - E ξEh

Свойства ковариации:

• cov(ξ;h) = cov(h; ξ)

• cov(ξ, ξ) = D ξ

• D(ξ+h) = D ξ + Dh + 2cov(ξ;h)

• если cov(ξ;h) !=0, то ξ и h зависимы

• если ξ и h независимы, то cov(ξ;h) = 0

• D(a ξ + bh +c) = a²D ξ + b²Dh + 2abcov(ξ,h)

Опр. корреляция двух с.в. ξ и h

r(ξ,h) = cov(ξ,h) / sqrt(D ξ) * sqrt(Dh)

D ξ,Dh !=0

Свойства корреляции:

• r(ξ,h) = r(h, ξ)

• r(ξ, ξ) = 1

• если r(ξ,h) != 0, то ξ и h зависимы

• если ξ и h независимы -> r(ξ,h) = 0

• |r(ξ,h)| <=1

• если r(ξ,h) = +-1 -> ξ и h – линейно зависимы, т.е. h = a ξ + b

если r(ξ,h) = 1 -> a>0

если r(ξ,h) = -1 -> a<0

11. Функция распределения, ее свойства. Плотность, ее свойства.

Функция распределения ξ в точке Х

F ξ(X) = P(ξ<X)

F ξ(X) : R -> [0,1]

ξ	1	2	3
Р	0,7	0,1	0,2

F ξ(-10) = P(ξ < -10) = 0

F ξ(1.5) = P(ξ < 1.5) = 0,7

F ξ(2.3) = P(ξ<2.3) = 0,7 + 0,1 = 0,8

F ξ(3) = P(ξ<3) = 0,8

F ξ(100) = P(ξ<100) = 1

Свойства функции распределения:

• F ξ(X) – неубывающая функция. если x1<x2 -> F ξ(x1) <= F ξ(x2)

• F ξ(X) непрерывна слева

• lim F ξ(X) = lim x-> -inf. (P(ξ<X)) = 0

lim x -> +inf. F ξ(X) = 1

• P(ξ<b) = F ξ(b)

• P(X0 <= ξ < x0 + Dx) = f ξ(X0 + Dx) - F ξ(X0)

• если F ξ(X) непрерывна в точках а и в (не между ними, а в самих точках),

P(ξ<b) = P(ξ<=b) = F ξ(b)

P(ξ>=a) = P(ξ>a) = 1- F ξ(a)

P(a<= ξ<b) = P(a < ξ<b) = P(a<= ξ <= b) = P(a < ξ <=b) = F ξ(b) - F ξ(a)

• если ξ – д.с.в (принимает счетное колво значений), то F ξ(X) – ступенчатая функция

Опр. с.в. имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция плотности ξ (f ξ(x))

Fξ(x) = ∫^k_-inf f ξ(t)dt

Свойства плотности

• fξ(x) >=0 для любого х

• ∫^+inf_-inf fξ(x)dx = 1 – плотность по всей числовой оси. плотность – аналог вероятности

• fξ(x) непрерывна для любого х => P(ξ=x0) = 0

• fξ(x) = (Fξ(x))’ для любого Х

• P(a<=ξ < b) = Fξ(b) – Fξ(a) = ∫^b_-inf fξ(t)dt -∫^a_-inf fξ(t)dt