ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

1. Случайные события. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями.

Случайное событие – то, которое может наступить в рамках случайного эксперимента (эксперимента, результат которого заранее неизвестен).

Омега – множество всех возможных результатов случайного эксперимента, таких, что в случайном эксперименте может получиться только один из результатов.

Элементы Омега – элементарные исходы – случайные события. Обязательно должен наступить какой либо исход, и 2 элементарных исхода не могут наступить одновременно.

Операции над событиями:

1. Противоположное событие (дополнение), (^_А) - наступает тогда, когда не наступает событие А. То есть –А = все кроме А.

2. Объединение или сумма двух событий А и В, (А+В) – тоже случайное событие, которое наступает, если наступило хотя бы одно из случайных событий А и В.

3. Пересечение/Произведение случайных событий, (А*В) – тоже случайное событие, которое наступает, когда наступают одновременно А и В

4. Разность случайных событий А и В, (A\B) - если наступило А, но не наступило В

2. Статистическое, аксиоматическое, классическое определения вероятности. Свойства вероятности.

1. Статистическое определение вероятности

А – случайное событие.

n – число случайных экспериментов.

m – число экспериментов, в которых наступило случайное событие А.

m<=n

m/n – частота наступления А

Если с ростом n частота наступления события А отличается мало и стремится к какому либо числу, то это и есть вероятность случайного события А.

Р(А) – вероятность А

2. Аксиоматическое определение

Вероятность – функция Р: Омега -> R, такая что превращает омегу в число

1) Р(А) >= 0 для любого события А

2) для любых попарно несовместных случайных событий А1, А2, ..., Аn

Р((Объединение по i от 1 до бесконечности)Ai) = (сумма по i от 1 до бесконечности )Р(Ai)

3) P(омега) = 1 – вероятность достоверного события

3. Классическое определение вероятности

Необходимо::

1)пространство элементарных исходов омега – конечно.

|омега| = N – колво эл исходов

2) все эл исходы должны быть равновозможны

Т.е. Р(w1) = … = P(wn) = 1/n

=> P(A) = K/N, где К – число благоприятных исходов, а N – число всех эл исходов

Свойства вероятности:

• Р(-А) = 1 – Р(А)

А + -А = омега

Р(А + -А) = Р(омега)

Р(А)+Р(-А) = 1

• Р(А) принадлежит [0,1]

• Р(пусто) = 1 – Р(омега) = 1 – 1 = 0

• Если А и В несовместны => Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

• Для любых сл.соб А и В

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А*B)

• Теорема сложения для А1, .. , Аn

Р(А1 + ... + Аn) = (сумма по i от 1 до n ) Р(Ai) – (сумма от i,j = 1, i<j, -> n) P(Ai * Aj) + (сумма по i<j<k -> n) P(Ai * Aj * Ak) - … + (-1)^n-1 * P(A1 * A2 * … * An)

3. Условные вероятности. Независимые события.

1 кубик 1 раз бросили

А- выпало 4 очка, В – выпало четное число очков

Р(А) = 1/6. Р(А|B) = 1/3

Опр. Условная вероятность наступления А при условии наступления В (Р(A|B)) = Р(А*B)/P(B), при Р(В) != 0

Опр. Случайные события А1, …, An – независимы в совокупности, если Р(Ai * Aj *..* Ak) = P(Ai) * P(Aj) … * P(Ak) для любого колва событий

Утв. Если А1 и А2 – независимые с.с., то

• Р(А1) = Р1, Р(А2) = Р2 => Р(-А1) = 1 – Р1 = q1 – вероятность ненаступления

P(-A2) = q2

• Р(А1 * А2) = р1*р2

Р(А1 * -А2) = р1 * q2

Р(-А1 * А2) = q1 *p2

• Наступило только одно событие из А1, А2

Р(А1 * -А2) + (-А1 * А2) = р1q2 + q1p2

• Наступило хотя бы одно

P(A1 * A2) = p1+p2 – p1p2 = 1 – q1q2