Минимизация логических функций методом Квайна – Мак-Класки

Мак-Класки предложил прием, который на этапе нахождения сокращенных ДНФ и КНФ упрощает процесс минимизации и, кроме того, позволяет описать этот процесс для выполнения на ЭВМ. Прием предусматривает следующую последовательность действий для получения сокращенной ДНФ:

1. СДНФ функции представляют наборами значений аргументов, на которых функция равна лог.1 (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Десятичный эквивалент набора аргументов
x1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
x2	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
x3	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
x4	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
F(x1, x2, x3, x4)	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0

Пусть функция задана таблицей истинности. СДНФ функции записываем в виде совокупности наборов (представленных их десятичными эквивалентами), на которых функция принимает значение лог.1.

F(x₁, x₂, x₃, x₄) =  (1, 5, 9, 10, 11, 13).

Эта запись читается так: "функция F принимает значение лог.1 на наборах, соответствующих десятичным эквивалентам или 1, или 5, или 9, или 10, или 11, или 13". Функцию можно записать и через наборы, представленные в двоичной форме: F = 0001V0101V1001V1010V1011V1101.

Таблица 5.4

Номер группы	Наборы
	I этап	II этап	III этап
0	--	--	--
1	0001	0*01	**01
		*001
2	0101	*101	10*1
	1001	10*1	101*
	1010	1*01
		101*
3	1011	--	--
	1101

2. Все члены в этой форме СДНФ разбивают на группы по числу единиц, содержащихся в наборах (представленных в двоичной форме). Эта разбивка наборов на группы для рассматриваемой функции представлена в графе I этапа (табл. 5.4).

3. Производят склеивание наборов. Склеиваться могут только наборы соседних групп, различающиеся лишь в одном разряде. Результат склеивания пары наборов содержит на месте разряда с различающимися значениями в наборах символ * и заносится в графу следующего этапа, а пара склеивающихся наборов вычеркивается (при этом вычеркнутые наборы должны использоваться в последующих поисках склеивающихся пар наборов). Так, склеивание пары наборов 0001 и 0101 графы 1 этапа приводит к набору 0*01, записываемому в графе II этапа.

Результаты склеивания наборов II этапа заносятся в графу III этапа. Сюда перенесены и невычеркнутые наборы из графы II этапа. Дальнейшее склеивание оказывается невозможным.

Наборы графы последнего этапа изображают простые импликанты функции, т.е. члены сокращенной ДНФ. В рассматриваемом примере сокращенная ДНФ функции F(x₁, x₂, x₃, x₄)=**01 v 10*1 v 101 *.

Эта запись соответствует логическому выражению, получаемому по правилу:

1. каждый набор соответствует отдельной импликанте;

2. каждому символу в наборе соответствует переменная функции с индексом, совпадающим с номером позиции символа в наборе;

3. если символом является *, то соответствующая переменная в выражении импликанты отсутствует;

4. если символом является 0, то соответствующая переменная в выражении импликанты присутствует с инверсией;

5. при символе 1 переменная записывается без инверсий:

F(x₁, x₂, x₃, x₄)=

Переход от сокращенной ДНФ к минимальной ДНФ может производиться с помощью импликантной матрицы, как и в методе Квайна. Различие может состоять лишь в том, что в импликантной матрице члены СДНФ и сокращенной ДНФ удобней представлять соответствующими им двоичными комбинациями (табл. 5.5).

Таблица 5.5

простые импликанты	0001	0101	1001	1010	1011	1101
**01	x	x	x			x
10*1			x		x
101*				x	x

Из таблицы следует, что МДНФ функции:

F(x₁, x₂, x₃, x₄) = **01 v 101*=

Методом Мак-Класки может быть получена и МКНФ функции. По сравнению с описанной выше последовательностью действий различие в этом случае заключается в следующем: функция представляется наборами, на которых она принимает значение лог. 0, и в полученных в результате минимизации наборах символу 0 соответствует переменная без инверсии, а символу 1 – переменная с инверсией. Рассмотрим получение МКНФ функции, представленной в табл. 5.6.

Таблица 5.6

Десятичный эквивалент набора аргументов	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
x1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
x2	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
x3	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
x4	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
F(x1, x2, x3, x4)	0	0	0	1	1	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0	1

Запишем функцию как совокупность наборов, на которых функция имеет значение лог. 0:

F(x₁, x₂, x₃, x₄)=V₀ (0, 1, 2,6, 10, 14).

Этапы минимизации показаны в табл. 5.7. В графе I этапа приведены наборы, соответствующие значениям функции, равным лог. 0. В после­дующих графах приведены результаты склеивания. Сокращенная КНФ записывается через инверсные комбинации наборов последнего этапа:

Таблица 5.7

Номер группы	Наборы
	I этап	II этап	III этап
0	0000	000*	000*
		00*0	00*0
1	0001	0*10	**10
	0010	*010
2	0110	*110
	1010	1*10
3	1110

F(x₁, x₂, x₃, x₄) = (111*)(11*1)(**01) =

Переход от сокращённой КНФ к минимальной КНФ не имеет особенностей.