Школа / 1[1]
.pdfI. Кинематика |
Y |
|
A |
|
Движущаяся точка А |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Траектория точки А — линия, по которой движется точка. |
||||||||||||||||||||
1. Основные понятия |
|
|
|
|
|
|
|
Радиус-вектор — вектор, описывающий расположение точки в |
||||||||||||||||
Система отсчета — |
|
ry = y |
|
|
|
|
|
|
|
пространстве. Это направленный отрезок, проведенный из начала |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
координат в точку, положение которой он задает. |
||||||||||||||||
совокупность тела отсчета, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
системы координат, связанной |
|
|
|
|
|
|
X |
Координата точки равна проекции радиус-вектора на координатную ось |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
с телом отсчета, и часов, |
|
|
О |
|
|
|
|
|
Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
неподвижных относительно |
|
|
rx = x |
|
|
движение других тел. |
|
Скорость точки |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
тела отсчета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Y |
|
|
∆rr- Перемещение точки — изменение радиус-вектора |
r |
|
|
vr = lim |
∆r = dr = rr′(t) |
||||||||||||||||
|
1 |
(направленный отрезок, проведенный из начального |
|
v = ∆r |
|
|||||||||||||||||||
|
положения точки в ее конечное положение). |
|
|
|
∆t |
|
|
∆t→0 |
∆t |
dt |
||||||||||||||
rr |
|
|
r |
r |
|
r |
s – путь, пройденный точкой — |
|
если v =const |
|
|
Перемещение точки за время ∆t |
||||||||||||
r |
|
∆r |
= r2 |
|
−r1 |
длина участка траектории между начальным |
|
|
|
|
Ускорение точки |
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
1 |
положением (1) и конечным положением (2), |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
r2 |
|
|
|
ar = |
∆v |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
если точка не проходит по одному участку |
|
|
ar = lim |
∆v = |
dv = vr′(t) = rr′′(t) |
||||||||||||
О |
|
|
|
|
|
траектории более одного раза (иначе путь |
|
|
||||||||||||||||
проекция |
∆rx = ∆x = x2 – x1 |
2 |
|
находят как сумму путей на отдельных |
∆t |
|
|
∆t→0 |
∆t |
dt |
||||||||||||||
вектора ∆r |
|
Проекция перемещения на координатную ось |
|
участках). |
если a =const |
|
|
Изменение скорости за время ∆t |
||||||||||||||||
на ось ОХ |
|
равна изменению координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Среднее ускорение |
|
Средний вектор скорости |
|
|
Средний модуль скорости |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆vr |
|
(средняя скорость перемещения) |
|
|
(средняя путевая скорость) |
||||||||
численно |
= ∆x |
|
|
ar |
|
= |
Изменение |
|
r |
∆r |
Вектор перемещения |
s |
||||||||||||
±Sпод |
|
|
|
|
ср |
|
∆t |
скорости |
|
vср |
= ∆t |
точки за время ∆t |
v = t |
|||||||||||
|
граф vx (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
за время ∆t |
|
|
|
|
|
Путь, пройденный за время t |
||||||||
vx |
+ - площадь выше оси t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
– - площадь ниже оси t |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
численно |
|
= ∆vx |
|
ax |
|
|||||||
|
|
|
t |
|
|
численно |
|
|
|
|
|
|
|
±Sпод |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Sпод |
|
|
= s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
граф ax (t ) |
|
|
|
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ - площадь выше оси t |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
граф v (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– - площадь ниже оси t |
|
|
|
||||
2. Законы сложения скоростей и ускорений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
Скорость «подвижной» системы отсчета (ПСО) относи- |
v 1/2 |
= v 1 − v 2 |
||||||||||||||
vт/нсо |
=vт/псо +vпсо/нсо |
|
тельно «неподвижной» (НСО) (переносная скорость) |
|
||||||||||||||||||||
Скорость точки (т) |
|
|
Скорость точки (т) |
|
|
Скорость первой точки |
Скорость первой точки |
Скорость второй |
||||||||||||||||
относительно |
|
|
относительно «подвижной» |
|
относительно второй |
точки |
||||||||||||||||||
«неподвижной» |
|
|
системы отсчета (ПСО) |
|
|
|
|
|
|
(в «неподвижной» |
|
(в «неподвижной» |
||||||||||||
|
|
(относительная скорость) |
|
|
|
|
|
системе отсчета) |
|
|
||||||||||||||
системы отсчета (НСО) |
|
|
|
|
|
|
|
|
системе отсчета) |
|||||||||||||||
(абсолютная скорость) |
|
aт/нсо |
=aт/псо |
+aпсо/нсо |
Ускорение «подвижной» системы отсчета (ПСО) |
|||||||||||||||||||
Ускорение точки в |
|
|
|
относительно «неподвижной» (НСО) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Если ПСО |
|
|
|
|
|
|
|
|
(переносное ускорение) |
|
|
|
||||||||||
«неподвижной» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорение точки в «подвижной» системе отсчета |
|||||||||||||
системе отсчета (НСО) |
|
не вращается, движется поступательно |
||||||||||||||||||||||
(абсолютное |
|
|
|
относительно НСО |
|
|
|
|
(ПСО) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ускорение) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Нормальное и тангенциальное ускорения |
Вектор скорости точки |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
arn — нормальное ускорение — |
|
|
|
an |
|
|
v |
|
Вектор ускорения («полное ускорение») представляют |
||||||||||||||
составляющая полного |
|
|
|
|
|
|
|
как сумму двух векторов (составляющих), один из |
||||||||||||||||
ускорения, перпендикулярная |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
которых (aτ |
) параллелен скорости, а другой (an ) |
|||||||||||||
вектору скорости. Это ускорение |
|
|
|
aτ |
|
|
|
перпендикулярен скорости: |
ar =arτ +an |
|||||||||||||||
характеризует быстроту |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
изменения направления вектора |
|
|
|
aτ — тангенциальное ускорение — составляющая полного ускорения, |
||||||||||||||||||||
скорости. |
Радиус кривизны |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
an =v |
2 |
|
|
|
|
параллельная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту |
|||||||||||||||||
|
|
траектории в той точке, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
||||||||||
|
r |
|
где имеет место данное |
|
|
|
|
|
|
|
|
aτ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
нормальное ускорение. |
|
изменения модуля вектора скорости: |
= dt |
|
|
|
4. Типы движений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.1. Равномерное движение— движение, при котором точка за любые равные промежутки времени проходит |
||||||||||||||||||||||||||||
(v = const) |
|
s |
= v t |
|
одинаковые пути (Вектор скорости не изменяется по модулю, но может меняться по |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлению) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Модуль скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Путь, пройденный точкой за время t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.1.1 Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором точка за любые равные промежутки |
||||||||||||||||||||||||||||
(vr =const ) |
s = v |
t |
|
x = x0 + vx t |
|
времени совершает одинаковые перемещения. (Вектор скорости |
||||||||||||||||||||||
( a = |
0 ) |
|
|
|
не меняется ни по модулю, ни по направлению) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
О |
|
vr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция вектора скорости на координатную ось |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координата точки в начальный момент t = 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координата точки в момент t |
|
||||||||
4.1.2 Равномерное движение по окружности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(равномерное вращение — движение твердого тела, при котором любая его точка движется по окружности, |
||||||||||||||||||||||||||||
причем, центры всех этих окружностей лежат на одной прямой перпендикулярной плоскости вращения, и за |
||||||||||||||||||||||||||||
любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.) |
r |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
v1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(ω = const) |
|
|
∆ϕ |
|
Угол, на который тело поворачивается за |
|
|
|
|
|
v |
|||||||||||||||||
|
ω= |
|
время ∆t (угол измеряется в радианах) |
|
|
|
aц1 |
|
|
|||||||||||||||||||
s = v t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ϕ |
|
||||||
|
|
2π |
|
|
|
|
ω— Угловая скорость (измеряется в рад/с) |
|
|
|
|
aц |
||||||||||||||||
ω= |
|
v = ω R |
|
R — Радиус окружности, |
|
При равномерном движении по R |
|
|
||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
окружности точка обладает |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
по которой движется точка |
|
ускорением, которое в любой |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
T - Период вращения — время, |
момент направлено к центру |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
T = |
|
|
за которое происходит один |
|
этой окружности. Такое |
|
|
|
||||||||||||||||
ν = |
|
|
|
полный оборот. |
|
|
|
ускорение называется |
|
|
|
|||||||||||||||||
T |
|
|
|
N |
|
|
t — время, за которое |
|
|
ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
происходит N оборотов |
|
|
|
v |
2 |
v - скорость движения точки |
|||||||||||||
ν - частота вращения — число, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aц |
= |
|
R – радиус окружности, по |
|||||||||||||||
оборотов, происходящих за единицу времени (за 1 секунду). |
R |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
которой движется точка |
||||||||||||||||||||||||||
Измеряется в герцах. 1 Гц = 1 оборот/с |
|
|
|
|
|
|
vx , vy - проекции скорости в момент t |
|||||||||||||||||||||
4.2 Движение с постоянным ускорением |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(ar = const ) |
|
|
∆v |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
vx = v0x |
+ ax t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При ar =const : |
ar = |
|
|
v |
=v0 +at |
|
|
vy = v0y |
+ ay t |
ax , ay - проекции ускорения |
|
|||||||||||||||||
численно |
|
∆t |
|
vx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0x , v0y - проекции начальной скорости |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
±Sпод |
|
= ∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x =vx +v0x t |
|
|
|
(т. е. скорости в момент t = 0) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
граф vx (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
|
∆x , |
∆y – изменение координат: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+ - площадь выше оси t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vy |
+v0y |
|
||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x = x – x0 ; ∆y = y – y0 |
|||||||||||||
– - площадь ниже оси t |
|
|
|
v |
+v |
0 |
|
|
|
∆y = |
t |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∆r = |
|
2 |
|
t |
|
|
|
2 |
|
x , y – конечные координаты |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2ar∆rr =v 2 −v02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(координаты в момент t) |
||||||||
|
|
2ax ∆x |
= vx |
2 |
- |
2 |
|
|
|
|
axt |
2 |
|
|
|
r |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v0x |
x = x0 + v0x t + |
|
rr =rr +vr |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2ay ∆y = vy2 - v0y2 |
|
2 |
|
0 |
t + at 2 |
||||||||||||||||
Форма траектории |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ayt 2 |
0 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при движении с постоянным ускорением: |
|
|
|
|
|
|
y = y0 + v0y t + |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x0 , y0 – начальные координаты |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(координаты в момент t = 0) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
параллельны) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Прямолинейная траектория (a |
иv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.1 Равноускоренное движение ar ↑↑vr 4.2.2 Равнозамедленное движение a ↑↓v |
Параболическая траектория |
||||||||||||||||||||||
|
(ar иvr |
не параллельны) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = v0 + a t |
2a s = v2 − v02 |
|
|
|
|
v = v0 − a t |
|
2a s = v02 − v2 |
|
|
v0 |
||||||||||||
|
s =v0t + |
at 2 |
|
|
s = |
v +v0 |
t |
|
|
|
|
|
s =v0t − at 2 |
|
s = |
v +v0 |
t |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
t |
≤ tост |
= v0/а |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
g |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4.3 Гармоническое движение |
x = A cos(ωt + ϕ0) , |
vx = −A ω sin(ωt + ϕ0) , ax = −A ω2 cos(ωt + ϕ0) |
|||||||||||||||||||||
|
|
(вдоль оси ОХ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vm = A ω |
|
am = A ω2 |
||||||||
x — координата колеблющегося тела (смещение от равновесного |
|
|
|
|
|
максимальная |
максимальное |
|||||||||||||||||
ax = −ω2 x |
|
|||||||||||||||||||||||
положения); ω — циклическая частота колебаний, |
|
|
ω = 2π |
|
|
скорость |
|
ускорение |
||||||||||||||||
A — амплитуда колебаний (максимальное смещение) |
|
|
|
|
|
колебаний (время одного полного колебания) |
||||||||||||||||||
|
период |
|||||||||||||||||||||||
ϕ = ωt + ϕ0 — фаза колебаний, ϕ0 — начальная фаза. |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|