Сценарий

практической работы № 2 по дисциплине «Теоретические основы электротехники» по направлению 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника.

Группа ЭЭ-16-Д(3-й семестр)

Способы изображения синусоидальных функций времени

Введение (5-10мин.)

Цель работы: Отработать навыки преобразования синусоидальных функций для представления в различных формах.

Общие теоретические сведения

Синусоидальные функции времени могут быть представлены тригонометрической формой записи, линейными диаграммами изменения синусоидальной величины во времени, вращающимися векторами и комплексными числами.

Тригонометрическая форма записи синусоидально изменяющейся во времени величины в общем виде представляется выражением

a = A_m sin (ωt + + ψ) = A_m sin α,

где α - мгновенное значение синусоидальной функции времени; A_m - амплитудное значение синусоидальной функции времени; ω -угловая или круговая частота, характеризующая скорость изменения фазового утла; t - текущее значение времени; α = (ω t + ψ) - фаза или фазовый угол (аргумент синусоидальной функции времени); ψ - начальная фаза (начальный фазовый угол) (рисунок 1, а).

В соответствии с выражением для мгновенного значения сину-соидальная функция времени во многих случаях изображается в ви-де линейной диаграммы - графика изменения соответствующей си-нусоидальной функции от времени (от угла ω) .(рисунок 1, б).

Период изменяющейся во времени синусоидальной величины Т = 1/f(f - частота синусоидально изменяющейся во времени величины (число периодов в секунду)]. В электротехнике кроме мгновенных используются действующие и средние значения.

Рисунок 1– Способы представления синусоидального тока: а) круговая диаграмма; б) временная диаграмма (эпюра напряжений).

Действующие значения синусоидально изменяющейся ЭДС напряжений и токов записывают соответственно в виде выражений:

=0,707 =0,707 =0,707

Соответственно, средние значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжений и токов:

=0,637 =0,637 =0,637

Синусоидальная функция времени изображается также вращающимся вектором (см. рисунок 1,а). Длина вращающегося радиуса- вектора равна амплитуде А_m синусоидальной функции времени, угол между вращающимся вектором и осью абсцисс для момента времени t = 0 представляет начальную фазу у синусоидальной величины. Проекция вращающегося радиуса-вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидальной величины.

В электротехнике за положительное направление вращения векторов принято направление против хода часовых стрелок.

Синусоидальные функции времени a = A_m sin (ωt + ψ) изображаются также комплексными числами. При этом на плоскости комплексных чисел (рисунок 2) из начала координат под углом у к оси действительных чисел (вещественной оси) проводят вектор A_m, концу которого соответствует определенное комплексное число. Комплексная амплитуда синусоидальных величин определяется выражением (где е - основание натурального логарифма). Для действующих значений синусоидальных величин это выражение преобразуется к виду: .

Рисунок 2– Векторное представление комплексного числа

С увеличением времени фаза α = (ωt + ψ) синусоидальной величины возрастает, при этом угол между радиусом-вектором и осью действительных величин увеличивается, радиус-вектор поворачивается на соответствующий угол против хода часовых стрелок. Для момента времени t₁ (см. рисунок 1,б) комплексная амплитуда

а действующее значение

Комплексное число представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

где А' - вещественная (действительная) часть комплексного числа; jA^// - мнимая часть комплексного числа; Re и Im - символы, обозначающие дей-ствительную и мнимую части комплексного числа ( .

Комплексные числа А' ± jA^// и А' ± jA^//₁ считаются равными, если их действительные и мнимые части равны (А' = А^/₁; ±jA^m = ±jA”).

В выражении комплексного числа фигурирует также символ - мнимая единица, с помощью которого из комплексного числа выделяется его мнимая составляющая. Умножение вектора А на множитель j соответствует повороту его на угол, равный π/2 в положительном направлении (против хода часовой стрелки), а умножение на j - повороту в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки).

Модуль комплексного числа: , а его аргумент

ψ = arctg A^// / A^/.

Используют три формы записи комплексных чисел.

1. Алгебраическая (координатная) форма записи комплексного числа:

Сопряженное ему комплексное число имеет противоположный знак при мнимой части:

При этом произведение сопряженных комплексных чисел А А* = А² оказывается равным квадрату модуля комплексного числа. При отсутствии мнимой части комплексного числа:

A = K + j0 = K.

При отсутствии действительной части комплексного числа:

A = 0 ± j A^// = ±A".

Следует заметить, что алгебраическая форма - более удобная форма записи комплексных чисел при их сложении и вычитании.

2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел является производной алгебраической формы с учетом того, что

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел наиболее удобна при переходе к алгебраической форме записи от показательной.

3. Показательная форма записи комплексных чисел является производной от тригонометрической с учетом того, что в соответствии с формулой Эйлера

где е^jψ - поворотный множитель (показывает, что вектор повернут относительно вещественной оси в положительном направлении на угол ψ).

Поворотные множители j и е^jψ могут быть записаны в следующем виде:

При ψ = ± π/2 в соответствии с формулой Эйлера

поэтому е^jπ/2 = j; е^-jπ/2 = -j.

Показательная форма записи комплексных чисел оказывается более удобной формой записи при умножении, делении, извлечении корней, логарифмировании комплексных чисел.

Таблица 1.1

Mатематические выражения

Мгновенные значения синусоидальной функции времени	Формы представления комплексных чисел
	Показательная	тригонометрическая	алгебраическая

В таблице 1 показан переход от записи мгновенных значений синусоидальных функций времени к показательной, тригонометрической и алгебраической формам записи комплексных чисел(максимальное значение ЭДС E_m = 84,6 В, действующее ее значение = 60 В).

Практическая часть

Задание 1.

Определить среднее значение синусоидального тока I_ср по мгновенному его значению i =31,4 sin(ωt + π/2).Записать мгновенный ток в тригонометрической, показательной и алгебраической формах.

Решение.

Варианты

Вариант	Мгновенное значение тока	Ответ
1	i =4 sin(ωt + π/2
2	i = 3sin(ωt + π/3
3	i =2sin(ωt + π/6
4	i =6sin(ωt + π/6
5	i =8sin(ωt + π/2
6	i =12sin(ωt + π/4
7	i =24sin(ωt + π/2
8	i =11sin(ωt + π/6
9	i =13sin(ωt + π/2
10	i =14sin(ωt + π/8
11	i =15sin(ωt + π/6
12	i =16sin(ωt + π/2
13	i =17sin(ωt + π/4
14	i =18sin(ωt + π/2
15	i =19sin(ωt + π/8
16	i =2 sin(ωt + π/6
17	i =22sin(ωt + π/2
18	i =23sin(ωt + π/2
19	i =2 sin(ωt + π/4
20	i =30sin(ωt + π/2
21	i =29sin(ωt + π/6
22	i =26sin(ωt + π/2
23	i =28 sin(ωt + π/8

Задание 2

Для синусоидального напряжения и тока (рисунок 3) записать выражения для мгновенных их значений. Определить период Т и время t₀, соответствующее начальной фазе тока а также мгновенные значения напряжений u₁ и u₂ для моментов времени t_{1 =} 0,00167 с и t₂ = 0,005 с, если частота тока f = 50 Гц.

Рисунок 3

Решение.

u = U_m sin ωt = 100 sin 314 t В,

Способы изображения синусоидальных функций времени 1

t₁:α₁ = ωt₁ = π/6 =30⁰, u₁ = 100 sin ωt₁ = 100 sin 30° = 50 В;

t₂ : α₂ = ωt₂ = π/2 = 90⁰, u₂ = 100 sin ωt₂ = 100 sin 90° = 100 В.

Задание 3

В условиях задания 2 записать выражения для мгновенных значений напряжения и, соответствующих моментам времени t₁, и t₂.

Решение:

u = U_m sin (ωt₁ + π/6).

u = U_m sin (ωt₁ + π/2).

Задание 4

Представить комплексный ток А в тригонометрической и показательной и мгновенной формах записи.

Решение.

А.

tgψ₁ = ¾ = 0,75, откуда ψ₁ = 36°50^/.