2.3. Деревья

Ребро е произвольного графа G называется циклическим, если оно принадлежит хотя бы одному элементарному циклу в графе, и ациклическим в противном случае. Примером ациклического ребра является концевое, т.е. инцидентное вершине степени 1. На рис. 2.7 ребра b, d, f – циклические, ребра е, i – ациклические.

Рис. 2.7

В элементарном цикле две любые вершины связаны двумя непересекающимися (по ребрам) цепями; из одной вершины в другую можно пройти по циклу как в одну сторону, так и в другую. Поэтому при удалении из связного графа любого циклического ребра граф остается связным: в любой цепи можно заменить циклическое ребро цепью из остальных ребер цикла. С другой стороны, при удалении ациклического ребра любой граф становится несвязным: если бы граф оставался связным, то концы удаленного ребра были бы связаны элементарной цепью – возвратив удаленное ребро, получили бы элементарный цикл вопреки тому, что ребро ациклическое.

Теперь введем основное определение этого раздела. Связный граф без циклов называется деревом. Иначе говоря, дерево – это граф, все ребра которого ациклические. Имеется несколько эквивалентных определений дерева, устанавливающих ряд его характеристических свойств:

1) дерево – это связный граф, который становится несвязным при удалении любого ребра;

2) дерево – это граф, любые две вершины которого связаны единственной элементарной цепью;

3) дерево – это граф без циклов, в котором после добавления ребра, связывающего две любые вершины, появляется цикл;

4) дерево – это связный граф, у которого число ребер на единицу меньше числа вершин.

Пример дерева (рис. 2.8, а); выделены ребра единственной цепи [, ] между вершинами  и .

а б

Рис. 2.8

2. Рассмотрим теперь специальное представление деревьев. Выберем в дереве произвольную вершину ₀ и назовем ее корнем, или вершиной нулевого яруса. Соседние вершины назовем вершинами первого яруса и т.д., а именно вершины, соседние вершинам (i – 1)-го яруса, не отнесенные еще ни к одному ярусу, назовем вершинами i-го яруса. Каждая вершина дерева принадлежит ровно одному ярусу. Очевидно, что номер яруса совпадает с расстоянием между его вершинами и корнем дерева. В силу свойства (3) каждая вершина i-го яруса связана ребром ровно с одной вершиной (i –1)-го яруса и не связана ребром ни с какой вершиной i-го яруса. Иначе говоря, если S(, β) – антисимметричное отношение между вершиной  и подчиненной ей вершиной β, то инверсия S^-1 отношения S – однозначное соответствие.

Пример см. на рис. 2.8, а. Выбранная (в качестве корня) вершина выделена; для остальных вершин проставлены их расстояния до корня. На рис. 2.8, б наглядное представление того же дерева с расположением вершин по ярусам. Оно показывает, в частности, что в конечном дереве всегда существуют концевые вершины (например, вершины последнего яруса, но, возможно, и другие).

Выделение корня в дереве D определяет на множестве его вершин частичный порядок:  < , если    и элементарная цепь из корня в вершину  содержит  (при этом ярус вершины  меньше яруса вершины ). Каждая вершина  однозначно определяет корневое поддерево D_ , натянутое на множество таких вершин , что   . Поддерево D_ получается из своих ветвей склеиванием в корне  (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Если каждой вершине, кроме концевых, подчинены ровно две вершины следующего яруса, то дерево называется дихотомическим. Так, турнир по олимпийской системе (с выбыванием проигравшего) изображается корневым дихотомическим деревом: корень соответствует победителю.

Замечание. Так называемое генеалогическое дерево не является, вообще говоря, деревом, так как множества предков по отцовской и материнской линиям могут пересекаться.

В п. 2.1 рассматривался ориентированный граф, изображающий отношение строгого частичного порядка на конечном множестве. Если для отношения R(X, Y) в множестве имеется наибольший элемент х_наиб, то такому отношению можно следующим образом сопоставить корневое дерево. Удалим из графа, представляющего отношение R(X, Y) транзитивные связки, т.е. дуги (X, Y), если есть промежуточный элемент Z такой, что выполнены отношения R(X, Z) и R(Z, Y); будем считать, что недостающие звенья подразумеваются «по транзитивности» (именно так строилась в п. 4.4 Юниты 1 схема отношения X Y на множестве целых чисел и изоморфная ему схема отношения s  t на булеане). Оставшиеся дуги связывают каждую вершину только с непосредственно «подчиненными» вершинами.

Элементу х_наиб сопоставим корень дерева, соседние ему вершины расположим на 1-м ярусе, соседние (подчиненные) каждой из них – на 2-м ярусе, причем если элемент  непосредственно подчинен нескольким элементам 1-го яруса, то в дереве ему будут соответствовать несколько отдельных вершин ₁, ₂,..., каждая из которых связана дугой с одной из вершин 1-го яруса, которой она подчинена. Можно назвать эту процедуру расщеплением вершины . Поддерево D_ будет построено таким же образом и продублировано, т.е. каждой из вершин ₁, ₂,… подчинена своя копия поддерева D_.

Пример. На рис. 2.10 граф G и соответствующее корневое дерево D.

В связном графе G удалим какое-нибудь циклическое ребро е. В результате этой операции все ациклические ребра останутся ациклическими; некоторые циклические ребра могут стать ациклическими (если они входили в единственный цикл, который разрушен удалением ребра е). Будем теперь последовательно удалять циклические ребра до тех пор, пока это возможно, т.е. пока не останется ни одного циклического ребра. Мы придем к связному подграфу графа G с тем же множеством вершин, но без элементарных циклов, т.е. к дереву, называемому остовом графа G. Остов выбирается, вообще говоря, неоднозначно, однако все ациклические ребра обязательно входят в любой остов. Относительно остова D все ребра подграфа G \ D называются хордами. Каждая хорда связывает две вершины остова.

Рис. 2.10

На рис. 2.11, а - пример остова (его ребра выделены) графа с 11 вершинами и 18 ребрами. Последовательность циклов и удаляемых из них ребер представлены в таблице 2.1. Оставшиеся ребра, образующие остов: 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 15, 17, 18.

Рис. 2.11

Таблица 2.1

Цикл	Удаляемое ребро
[1,9,14]	1
[6,7,10]	6
[5,13,14]	5
[4,12,13]	13
[8,11,12]	8
[2,9,14,4,3]	9
[14,10,11,4]	14
[16,17,18]	16

Удобнее строить остов графа иначе. Упорядочив произвольно множество ребер графа, будем, начиная с первого из них, последовательно добавлять ребра, не образующие цикла вместе с какими-нибудь из ранее выбранных. Для этого достаточно выбирать очередное ребро е_i так, чтобы одна из его вершин была инцидентна какому-либо из ребер е₁,..., е_i-1, а другая - не инцидентна никакому из них. При этом всякий раз мы будем добавлять к строящемуся дереву новое концевое ребро.

Для того же графа на рис.2.11, б - остов, построенный таким способом. Последовательность присоединяемых ребер, составляющих в конечном счете остов, - в первом столбце табл. 2.2. Во втором столбце - ребра, не включаемые в остов на данном этапе построения: комментарий - в третьем столбце. Обратите внимание на то, что ребра, первоначально не присоединенные, могут впоследствии войти в остов (таковы ребра 5, 6, 7). Ребро 8 отвергается дважды по разным причинам. Ребра 4, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 18 - хорды.

Таблица 2.2.

Очевидно, что удаление из дерева концевого ребра вместе с концевой вершиной приводит к связному графу без элементарных циклов, т.е. к дереву, содержащему на одну вершину и на одно ребро меньше, чем исходное дерево. Продолжая этот процесс, мы придем (поскольку исходное дерево конечно) к дереву, состоящему из одного ребра (и двух его вершин). Поскольку из исходного дерева удалено одинаковое число ребер и вершин, то можно сделать вывод: в любом конечном дереве число ребер на единицу меньше числа вершин.

Обратно, пусть связный граф G с b вершинами содержит (b - 1) ребер. Докажем, что G - дерево в соответствии с характеристическим свойством (2). Действительно, в противном случае, удалив некоторое число q циклических ребер, мы получили бы остов с b вершинами и (b - 1 - q) ребрами, что невозможно (так как остов - дерево).

Если к дереву D добавить ребро (α, β), где α, β  D, то в графе появится (единственный!) элементарный цикл, составленный из этого ребра и (единственной) элементарной цепи [α, β]  D. Если удалить из дерева D произвольное ребро (γ, δ), не удаляя вершин, то получится несвязный граф (так как любое ребро дерева - ациклическое), состоящий ровно из двух компонент связности (так как восстановление этого ребра превращает граф в связный). Любой подграф Н дерева не содержит элементарных циклов, поэтому все компоненты связности подграфа Н - деревья.