1.2. Формулы пересчета числа комбинаторных конфигураций

(n, k)-размещения с повторениями - это слова длины k в n-элементном алфавите. Используя правило произведения, нетрудно показать, что число различных (n, k)-размещений с повто-рениями = n^k. Действительно, каждая из k букв слова может быть выбрана n способами, независимо от других.

Примеры. 1. Число слов длины k в алфавите {0, 1} равно 2^k; таково же число всех подмножеств k-элементного множества, поскольку множество однозначно задается своей характеристической функцией. Число k-значных двоичных чисел равно 2^k-1, т.к. первая цифра должна равняться 1, а остальные могут быть любыми.

2. Число k-значных десятичных чисел (т.е. имеющих ровно k знаков) равно 9•10^k-1: их можно рассматривать как слова в алфавите {0, 1, 2,..., 9}, причем только первая цифра должна быть отлична от 0.

Число (n, k)-размещений без повторений может быть также определено с помощью правила произведения. Первый из k элементов размещения может быть выбран n способами, второй - (n - 1) способами, поскольку элемент, выбранный первым, не должен быть повторен; аналогично, для третьего элемента (если k > 2) остается (n - 2) вариантов и т.д. Общая формула: k элементов могут быть выбраны

= n • (n – 1) • (n – 2) •... • (n – k + 1)

способами: произведение k сомножителей, убывающих на единицу, начиная с n. Ту же формулу можно записать по-другому, используя обозначение n! = 1 • 2 • ... • n:

= .

Для небольших значений k удобнее первое выражение.

Примеры. = 7! / 4! = 7 • 6 • 5 = 210;

= 7! / 3! = 7 • 6 • 5 • 4 = 840;

= 7! / 2! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 = 2520.

Если k = 1, то = n! / (n – 1)! = n;

если k = n – 1, то = n! / 1! = n!;

если k = n, то = n! / 0! = [для единообразия формул удобно считать, что 0! = 1] = n!.

Равенство чисел и естественно: если выбраны (n - 1) элементов из n, то единственный оставшийся элемент может быть выбран одним способом, а это и означает, что = . Поскольку = , то число n-перестановок P_n равно n!.

Число (n, k)-сочетаний без повторений обозначается символами (применяется также обозначение ) и называются также биномиальными коэффициентами, поскольку совпадают с коэффициентами формулы бинома Ньютона для n-й степени двучлена (x + y):

(x + y)ⁿ = • x^k • y^n-k. (7)

Действительно, коэффициент при члене x^k • y^n-k равен числу способов, которыми из n одинаковых сомножителей (x + y) • (x + y) • ... • (x + y) можно выбрать k (в них выбирается x, а в остальных y - произведение выбранных так множителей равно как раз x^k • y^n-k).

Для пересчета (n, k)-сочетаний без повторений удобно рассмотреть разбиение множества всех (n, k)-размещений без повторений на классы эквивалентности по отношению «иметь одинаковый состав элементов»; в один класс попадают размещения с одним и тем же составом элементов, но с различным их упорядочением; сочетания, отличающиеся составом элементов, попадают в различные классы. В каждом из классов содержатся упорядоченные конфигурации из одних и тех же k различных элементов, т.е. они представляют k-перестановки, и в каждом классе их число равно k!. Отсюда число (n, k)-сочетаний без повторений равно / k!, т.е.

= = = . (8)

Для небольших значений k удобнее последнее выражение для , поскольку здесь и в числителе, и в знаменателе – одинаковое число k сомножителей: в числителе - отрезок натурального ряда, начиная с n, в убывающем порядке; в знаменателе - отрезок натурального ряда [1, k], начиная с 1, в возрастающем порядке. В частности, = 1, = n, = n • (n-1) / 2. Удобно также считать, что = 0, если k > n.

Примеры.

; ; = 0.

Приведем некоторые свойства биномиальных коэффициентов.

1) .

Это следует как из формулы (2), так и из того, что выборка k элементов из n однозначно определяет дополнение: выборку (n – k) оставшихся элементов из n.

Поэтому, если k > n/2, то следует использовать данное равенство при вычислениях.

Отсюда и из предыдущих равенств следует

, .

Примеры. ; = .

В последнем равенстве в числителе и в знаменателе выделены скобками одинаковые сомножители.

2) = . Равенство следует из такого рассуждения. Зафиксируем некоторый элемент x n-элементного множества. Совокупность всех k-элементных подмножеств последнего (их число – левая часть равенства) разбивается на два непересекающихся класса: содержащих элемент x и не содержащих x. В первом классе подмножеств: они содержат элемент x и (k – 1) из остальных (n – 1) элементов. Во втором классе, очевидно, элементов.

Пример. = .

С последним тождеством связана схема, называемая треугольником Паскаля (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Если перенумеровать по порядку строки этого треугольника числами 0, 1, 2,..., то i-я строка окажется состоящей из чисел . В силу свойства 2 каждое число строки, кроме крайних, равных единице, можно получить как сумму двух ближайших чисел, находящихся над ним в предыдущем ряду. Это дает простой метод построения треугольника Паскаля и, тем самым, нахождения биномиальных коэффициентов: n-я строка задает коэффициенты бинома (x + y)ⁿ.

Замечание. Свойство 2 представляет собой пример рекуррентного (возвратного) соотноше-ния: величина , рассматриваемая как функция двух аргументов n, k, выражается через значения этой же функции при других (здесь – меньших) значениях переменных.

3) . Следует из подстановки x = y = 1 в формулу (7).

Примеры. Для n = 5: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵;

для n = 6: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶.

4) = 0. Равенство следует из подстановки x = 1, y = -1 в формулу (7).

Пример. Для n = 6 : 1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0.

5) = n • 2^n-1. Чтобы убедиться в справедливости равенства, представим, что для каждого сочетания из n элементов {a₁, a₂,..., a_n} выписаны на отдельную карточку символы a_i1, a_i2,..., a_ik , соответствующие элементам этого (k-элементного) сочетания: всего карточек - 2ⁿ (по свойству 2). Тогда суммарное число символов на всех карточках можно подсчитать двояко:

а) суммарное число символов на карточках, содержащих ровно k символов, равно k • ; в левой части рассматриваемого равенства – общее число символов на всех карточках для k = 0, 1,..., n;

б) если зачеркнуть некоторый символ а_i на всех карточках, на которых он написан, то на них останутся всевозможные сочетания из остальных (n - 1) элементов (их число - 2^n-1); значит символ а_i написан ровно на 2^n-1 карточках. Общее число символов равно n • 2^n-1 - в правой части равенства.

Примеры. Для n = 5: 0 • 1 + 1 • 5 + 2 • 10 + 3 • 10 + 4 • 5 + 5 • 1 = 80 = 5 • 2⁴.

Для n = 6: 0 • 1 + 1 • 6 + 2 • 15 + 3 • 20 + 4 • 15 + 5 • 6 + 6 • 1 = 192 = 6 • 2⁵.

6) = (тождество Коши). Для доказательства удобно рассмотреть такую интерпретацию. Пусть из группы, состоящей из m мужчин и n женщин, выбирается делегация k человек. Это можно сделать способами. Все k-элементные подмножества нашего (m + n)-элементного множества можно классифицировать по числу мужчин в делегации: любую k-элементную делегацию, содержащую s мужчин, можно получить, выбирая сначала s мужчин одним из способов, а затем (k - s) женщин одним из способов. По правилу произведения число таких делегаций равно • , а по правилу суммы общее число k-элементных делегаций такое, как в правой части равенства.

Пример. = = • + • + • + • + • = [учитывая, что = 0] = 7 • 1 + 21 • 3 + 35 • 3 + 35 • 1 = 210.

[С другой стороны, (см. пример п. 3)].

Чтобы получить число (n, k)-сочетаний с повторениями , поставим в соответствие каждому такому сочетанию S (т.е. неупорядоченной k-выборке из n-элементного множества) слово в двухбуквенном алфавите {0, 1} следующим образом. Составим сначала набор T из n натуральных чисел {a_i}, так что а_i равно числу i-х элементов n-множества, входящих в данную k-выборку. Некоторые а_i могут быть равны 0. Сумма n компонент этого кортежа равна k. Далее составим набор U из нулей и единиц, заменив каждое число а_i на блок из а_i единиц, перемежая эти блоки нулями:

Если некоторое а_i = 0, то между соответствующими нулями не будет ни одной единицы.

Говоря по-другому, набор из (n - 1) нулей определяет n мест: слева от всего набора и справа от каждого из нулей. На место i вставим a_i единиц (некоторые a_i, как сказано выше, могут равняться 0).

Например, (4, 7)-сочетанию S = (1, 1, 3, 4, 4, 4, 4) соответствует набор T = (2, 0, 1, 4), а ему, в свою очередь, набор из нулей и единиц U = 1100101111 (в сочетании S отсутствует элемент 2, поэтому после первого нуля сразу следует второй); (4, 7)-сочетанию S = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3) соответствует сначала набор T = (1, 3, 3, 0), а затем набор U = 1011101110 (в сочетании S отсутствует элемент 4, поэтому после последнего нуля пустое множество единиц).

В результате получаем набор U из (n - 1) нулей и k единиц, т.е. вектор длины (n - k + 1). Обратно, каждому такому вектору соответствует (n, k)-сочетание с повторениями: серии идущих подряд единиц определяют числа а_i - их сумма равна k. Поэтому число (n, k)-сочетаний с повторениями равно числу неупорядоченных наборов из (n - 1) нулей и k единиц, т.е. сочетаний с повторениями из (n + k - 1) по k:

= = . (9)

Равенство (9) можно получить и другим способом. Пусть (с₁, с₂,..., с_k) - (n, k)-сочетание с повторениями, причем с₁ ≤ с₂ ≤...≤ с_k. Сопоставим ему выборку W = (d₁, d₂,..., d_k), где d₁ = c₁ + 0, d₂ = c₂ + 1, d₃ = c₃ + 2,... d_k = c_k + k - 1. Все числа d_i различны, причем d₁ < d₂ <... < d_k, поскольку в предыдущих суммах первые слагаемые не убывают, а вторые строго возрастают. Поэтому выборка (d₁, d₂,..., d_k) может рассматриваться как (n+k-1, k)-сочетание без повторений, записанное как упорядоченное по возрастанию. Обратно, каждому такому упорядоченному (n+k-1, k)-сочетанию без повторений однозначно соответствует (n, k)-сочетание, возможно с повторениями, откуда следует равенство (9).

Пример. = = = 6 • 5 / 2 = 15.

В табл. 1.1 перечислены все 15 (3, 4)-сочетаний S с повторениями из 3 элементов по 4 (в 1-м столбце) вместе с соответствующими им наборами T (во 2-м столбце), U (в 3-м столбце) и соответствующими (6, 4)-сочетаниями без повторений W (в 4-м столбце).

Таблица 1.1

S T U W

1 1 1 1 4 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4

1 1 1 2 3 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 3 5

1 1 1 3 3 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 3 6

1 1 2 2 2 2 0 1 1 0 1 1 0 1 2 4 5

1 1 2 3 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 4 6

1 1 3 3 2 0 2 1 1 0 0 1 1 1 2 5 6

1 2 2 2 1 3 0 1 0 1 1 1 0 1 3 4 5

1 2 2 3 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 3 4 6

1 2 3 3 1 1 2 1 0 1 0 1 1 1 3 5 6

1 3 3 3 1 0 3 1 0 0 1 1 1 1 4 5 6

2 2 2 2 0 4 0 0 1 1 1 1 0 2 3 4 5

2 2 2 3 0 3 1 0 1 1 1 0 1 2 3 4 6

2 2 3 3 0 2 2 0 1 1 0 1 1 2 3 5 6

2 3 3 3 0 1 3 0 1 0 1 1 1 2 4 5 6

3 3 3 3 0 0 4 0 0 1 1 1 1 3 4 5 6