Приложения

Приложение 1

Примеры решения задач

Задача 1. Сколько 5-значных чисел, в десятичной записи которых участвуют цифры из множества {0, 1, 4, 6, 7}?

Решение. В записи числа первая цифра должна быть отличной от 0; остальные четыре цифры могут быть произвольными. По комбинаторному правилу произведения искомое число 5-значных чисел равно 4 • 5 • 5 • 5 • 5 = 2500.

Задача 2. Сколько 6-значных чисел, в десятичной записи которых участвуют цифры из множества {0, 1, 4, 6, 7} и таких, что четные цифры чередуются с нечетными ?

Решение. Если в записи числа первая цифра четная, то она может быть равна 4 или 6, вторая, четвертая и шестая – 1 или 7, третья и пятая – 0, 4 или 6; таких чисел по правилу произведения: 2 • 2 • 3 • 2 • 3 • 2 = 144. Если же первая цифра нечетная, то она, а также третья и пятая могут быть равны 1 или 7, вторая, четвертая и шестая – 0, 4 или 6; таких чисел 2 • 3 • 2 • 3 • 2 • 3 = 216. Всего искомых чисел 144 + 216 = 360.

Задача 3. Сколько различных слов можно составить перестановками букв слова МАТЕМАТИКА?

Решение. Число перестановок из 10 букв равно 10!. Однако в слове МАТЕМАТИКА есть одинаковые буквы: М – 2 раза, А – 3 раза, Т – 2 раза: перестановка одинаковых букв не изменяет слова. Поэтому число различных 10-буквенных слов равно = = = 1 • 2 • 3 • 5 • 7 • 8 • 9 • 10 = [в произведении отсутствуют множители 4 и 6] = 151200.

Задача 4. В формуле W = [(X A Y) B (Y C Z)] D (X E T) F (Z G T) каждый из символов A, B, C, D, E, F, G обозначает одну из арифметических операций: сложение, вычитание, умножение и деление. Сколько различных формул представляются таким образом?

Решение. Каждый из символов A, B, C, D, E, F, G может иметь 4 значения независимо от других. Тем самым, формула однозначно определяется (4, 7)-размещением с повторениями. Поэтому число различных формул равно 4⁷ = 16384.

Задача 5. Сколько существует 7-значных десятичных чисел таких, что в их записи:

а) нет одинаковых цифр в соседних разрядах;

б) в любых трех последовательных разрядах все цифры различны?

Решение. а) Для первой цифры – 9 возможностей (любая цифра, кроме 0); для второй и последующих – любая цифра, кроме предыдущей, также 9 вариантов. Результат – по правилу произведения: 9⁷.

б) Для первой и второй цифры – 9 возможностей, как в первом случае; для третьей и последующих – любая цифра, кроме двух предыдущих (они различны), т.е. 8 вариантов. По правилу произведения получаем: 9² • 8⁵.

Задача 6. Каждое воскресенье каждый из четырех теннисистов команды А проводит с кем-либо из четырех теннисистов команды В по одной игре. Доказать, что в течение полугода найдутся два воскресенья с одним и тем же распределением противников по четырем парам.

Решение. Занумеруем игроков одной из команд. Распределение их противников есть перестановка из 4 элементов. Число n-перестановок P_n равно n! Следовательно, составлять различные наборы из 4 пар можно не более, чем 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24 способами. Полгода составляют 26 недель, поэтому повторение неизбежно.

Задача 7. Чтобы открыть входную дверь в пещеру, Али-Баба должен угадать шифр. Ему известно, что это некоторое число не длиннее 5 цифр, записываемое с использованием только цифр 2, 4, 8. Возможно не более одной попытки в день. Удастся ли Али-Бабе попасть в пещеру в течение года?

Решение. Указанные шифры – это слова в алфавите {2, 4, 8}. Число слов длины k в алфавите из трех букв равно = 3^k. Допустимые слова имеют длину от 1 до 5. Число всех таких слов равно сумме 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Поэтому за год можно перебрать все возможные шифры. Не позже 363-го дня дверь откроется.

Задача 8. Книжный коллектор предлагает для комплектования библиотек книги 8 наименований по 1000 экземпляров каждая. Сколькими способами библиотека может составить заявку на 25 книг?

Решение. Заявка указывает, сколько требуется книг каждого наименования. Запасы коллектора позволяют библиотеке выбирать в пределах общего числа 25 книг любое количество книг каждого наименования Соответствующая комбинаторная конфигурация есть (8, 25) -сочетание с повторениями.

Число (n, k)-сочетаний с повторениями: = = . Для заданных параметров получаем: = = = (32 • 31 • . . . • 26) / (1 • 2 • . . .• 7) = 3365856.

Задача 9. Построить матрицу соседства вершин графа.

Решение. В графе 5 вершин, поэтому матрица соседства вершин – 5-го порядка. Элемент a_ij матрицы равен 1, если из вершины i идет дуга (ориентированное ребро) в вершину j. Неориентированным ребрам (1, 3) и (1, 5) соответствуют в матрице по две единицы: a₁₃ = a₃₁ = 1; a₁₅ = a₅₁ = 1. Петле соответствует диагональный элемент a₅₅.

Задача 10. По заданной матрице соседства вершин построить ориентированный граф. Выделить в этом графе какой-нибудь элементарный путь [1, 4] и какую-нибудь элементарную цепь [1, 4].

Решение. Порядок матрицы равен 4. Поэтому в графе 4 вершины. Каждая единица в матрице обозначает определенную дугу графа; число дуг равно 7. Обозначим их a, b, c, d, e, f, g.

Путь [1, 4] = [1, a, 3, f, 2, b, 4]. Поскольку в графе нет кратных дуг (e и f – кратные ребра, но имеют разные направления), можно опустить обозначения ребер: [1, 3, 2, 4]. В качестве цепи [1, 4] можно рассматривать тот же путь, а также цепи [1, d, 4], [1, a, 3, g, 4].

Задача 11. Найти число треугольников (полных трехвершинников) в полном графе K₈.

_{Треугольник полностью определяется выбором трех вершин из данных восьми. Число таких неупорядоченных троек равно числу (8, 3)-сочетаний без повторений}

.

Задача 12. Сколько различных циклов длины 4 в полном двудольном графе K_5,8 ?

Решение. Множество вершин двудольного графа разбивается на две части А = {a_i } и В = {b_j}. Каждый цикл длины 4 в двудольном графе имеет вид а₁b₁a₂b₂a₁; в полном графе такой цикл определяется выбором любых двух вершин а₁ и a₂ из множества А и любых двух вершин b₁, b₂ из множества В (см. чертеж). Неупорядоченную пару вершин {а₁, a₂} можно выбрать С₅² = (5 • 4) / (1 • 2) = 10 способами; неупорядоченную пару вершин {b₁, b₂} можно выбрать С₈² = (8 • 7) / (1 • 2) = 28 способами. По комбинаторному правилу произведения число рассматриваемых циклов равно С₅² • С₈² = 10 • 28 = 280.

Задача 13. Вершинами графа G являются все наборы длины 5 из нулей и единиц. Ребра связывают все пары вершин, различающихся ровно в 2 разрядах. Определить число ребер графа G и его цикломатическое число.

Решение. Число наборов длины k из нулей и единиц равно числу (2, k)-размещений с повторениями: = 2^k. Следовательно число вершин b графа G равно 32. Степень s каждой вершины равна числу наборов, разнящихся с данным в двух разрядах. Число пар таких разрядов равно числу (5, 2)-сочетаний без повторений: = 5 • 4 / 2 = 10. Для однородного графа степени s число ребер равно b · s / 2 = 32 • 5 = 160.

Цикломатическое число связного графа ν(G) = p - b + 1 = 160 – 32 + 1 = 145.

Задача 14. Построить остов графа

Решение. Выбираем произвольную вершину, например, а, включаем инцидентные ей ребра 1, 2, 3 и, следовательно, вершины b, e, i; далее соседние с ними вершины c, k, h, g и инцидентные им ребра 4, 5, 6, 7, и, наконец, вершины f, d и ребра 8, 9. Выбираемые ребра на каждом этапе подключают к уже построенному к этому моменту подграфу новую вершину, и поэтому циклов не возникает, а связность сохраняется. На чертеже выделенные ребра образуют остов графа. Схема показывает последовательность присоединения вершин в процессе построения остова.

Задача 15. Найти расстояние между вершинами А и В графа с заданными длинами ребер.

Решение. Длина цепи – сумма длин ее ребер. Расстояние между вершинами – длина кратчайшей цепи, связывающей эти вершины. Алгоритм нахождения искомого расстояния – на чертеже. Показана расстановка меток, выражающих длины цепей, связывающих данную вершину с входным полюсом А. По мере обнаружения более коротких цепей метки пересчитываются (уменьшаются); минимальные вычисленные значения определяют расстояние от А до данной вершины. Последняя метка выходного полюса В есть расстояние d(A, B). Для заданного графа d(A, B) = 17.

Приложение 2