С овременная

Гуманитарная

Академия

Дистанционное образование

3346.02.01;РУ.01;1

Рабочий учебник

Фамилия, имя, отчество обучающегося __________________________________________________

Направление подготовки ______________________________________________________________

Номер контракта _____________________________________________________________________

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ЮНИТА 2

КОМБИНАТОРИКА. ГРАФЫ И СЕТИ

МОСКВА 2007

Разработано Ф.Я. Ветухновским, канд. физ.-мат. наук, доц.

Под ред. Б.П. Осиленкера, д-ра физ.-мат. наук, проф.

Рекомендовано Учебно-методическим

советом в качестве учебного пособия

для студентов СГА

КУРС: ДИСКРЕТНАЯ Математика

Юнита 1. Множества и соответствия.

Юнита 2. Комбинаторика. Графы и сети.

Юнита 3. Булевы функции и предикаты.

Юнита 4. Кодирование. Конечные автоматы.

ЮНИТА 2

Рассмотрены элементы комбинаторики, задачи пересчета числа комбинаторных конфигураций различного типа, основные понятия теории графов и сетей и их применение для описания и исследования объектов разной природы. Изложение сопровождается большим количеством примеров и упражнений как в тексте, так и в Приложении 1.

Разделы и упражнения, предназначенные для дополнительного изучения, выделены знаком в начале и в конце фрагмента.

Для студентов Современной Гуманитарной Академии

_____________________________________________________________________

© СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ, 2007

О Г Л А В Л Е Н И Е

Стр.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН 4

ЛИТЕРАТУРА 5

ПЕРЕЧЕНЬ УМЕНИЙ 6

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЗОР 7

1. Элементы комбинаторики 7

1.1. Основные комбинаторные конфигурации 7

1.2. Формулы пересчета числа комбинаторных конфигураций 9

1.3. Некоторые комбинаторные задачи 14

2. Элементы теории графов 18

2.1. Представления графов 18

2.2. Связные графы 23

2.3. Деревья 25

2.4. Кратчайшие пути и цепи 30

2.5. Эйлеровы (четные) графы. Цикломатическое число 33

2.6. Двухполюсные сети. Потоки в сетях 36

2.7. Стратегии в дискретной игре с открытой информацией 40

2.8. Правильные раскраски графов 44

ПРИЛОЖЕНИЯ 47

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 53

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ 57

ГЛОССАРИЙ 68

Дидактический план

Размещения и сочетания без повторений и с повторениями. Принцип Дирихле. Правила суммы и произведения. Формулы пересчета числа комбинаторных конфигураций. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля.

Ориентированные и неориентированные графы. Элементы графа: вершины, ребра, дуги. Способы задания графов. Матрица инциденций, матрица соседства вершин. Геометрическая реализация графа. Степень вершины. Цепь и путь, цикл и контур. Связность графа. Деревья. Остов графа. Линейное пространство циклов графа. Базис циклов. Эйлеровы графы. Эйлеровы и гамильтоновы пути и циклы. Задача о коммивояжере. Дискретная игра двух лиц с открытой информацией. Дерево игры. Стратегия. Выигрышная и беспроигрышная стратегии.

Многополюсные и двухполюсные сети. Параллельно-последовательные сети. Поток в двухполюсной сети. Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке и ее комбинаторные приложения. Задача о назначениях. Кратчайший путь и кратчайшая цепь в сети. Задачи о раскраске графов. Хроматическое число графа.

Литература Основная

1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

2. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. – Ростов-н/Д.: Феникс; Харьков: Торсинг, 2003.

3. Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика. – М.: Академия, 2004.

Дополнительная

1. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Ч. 1. Начала теории множеств. – М.: МЦНМО, 1999.

2. Гончарова Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики. – М.: Форум – ИНФРА-М, 2003.

3. Дискретная математика: Энциклопедия. – М.: Большая Российская энциклопедия, 2004.

4. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. ‑ 2-е изд. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

5. Турецкий В.Я. Математика и информатика (для студентов по гуманитарным специальностям). ‑ 3-е изд. – М.: Инфра-М, 2004.

6. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. ‑ 2-е изд. – М.: УРСС (изд-во научной и учебной литературы), 2001.

Перечень умений

№ п/п	Умение	Алгоритм
1	Вычислить число (n, k)-размещений и (n, k)-сочетаний с повторе-ниями и без повторений c заданными параметрами	1. Использовать формулы для пересчета указанных комби-наторных конфигураций. 2. Выделить недопустимые наборы параметров для каждого типа конфигураций. 3. Подставить заданные параметры в соответствующие формулы и вычислить требуемые значения
2	Вычислить число комби-наторных конфигураций, заданных в содержа-тельных терминах	1. По условию задачи определить тип комбинаторных конфигураций. 2. Подставить заданные параметры в соответствующие формулы и вычислить требуемые значения
3	Построить различные представления ориенти-рованного графа, задан-ного списком дуг	1. Построить геометрическую реализацию графа. 2. Построить матрицу соседства вершин
4	Построить различные представления неориен-тированного графа, заданного списком ребер	1. Построить реализацию графа G. 2. Построить матрицу соседства вершин графа G. 3. Построить матрицу инциденций графа G. 4. Найти расстояние между заданными вершинами
5	Исследовать параметры пространства циклов неориентированного графа	1. Построить реализацию графа G. 2. Найти цикломатическое число графа G. 3. Выбрать остов графа G. 4. Построить базис циклов графа G. 5. Выразить в построенном базисе заданный элементарный цикл
6	В неориентированном графе G с заданными длинами ребер найти расстояние между заданными вершинами и кратчайшую цепь	1. Установить метки в вершинах, соседних с полюсом. 2. Установить метки в вершинах, соседних с предыдущими. 3. Пересчитывать метки вершин при обнаружении более коротких цепей. 4. Выделить кратчайшую цепь [А, В]
7	Для игры, заданной деревом, определить, кто из игроков имеет выигрышную стратегию, и указать ее	1. Определить длину игры. 2. Начиная с вершин нижнего яруса, помечать вершины предыдущего яруса символами А или В в зависимости от того, для какой из сторон подыгра, начинающаяся в этой вершине, является выигрышной. Попутно отмечать ребра, которые определят выбираемую стратегию. 3. Определить выигрывающую сторону. 4. Указать выигрышную стратегию