Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТЕОРМЕХ 3 семестр Беломытцев А.С / ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ (динамика).doc
Скачиваний:
181
Добавлен:
02.02.2015
Размер:
5.73 Mб
Скачать

5.2. Количество движения материальной точки

и механической системы

Количество движения материальной точки – это векторная мера механического движения, равная произведению массы точки на ее скорость, . Единица измерения количества движения в системе СИ –. Количество движения механической системы равно сумме количеств движений всех материальных точек, образующих систему:

. (5.2)

Преобразуем полученную формулу

.

Согласно формуле (4.2) , поэтому

.

Таким образом, количество движения механической системы равно произведению ее массы на скорость центра масс:

. (5.3)

Поскольку количество движения системы определяется движением только одной ее точки (центра масс), оно не может быть полной характеристикой движения системы. Действительно, при любом движении системы, когда ее центр масс остается неподвижным, количество движения системы равно нулю. Например, это имеет место при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Введем систему отсчетаCxyz, имеющую начало в центре масс механической системыСи движущуюся поступательно относительно инерциальной системы(рис. 5.1). Тогда движение каждой точкиможно рассматривать как сложное: переносное движение вместе с осямиCxyzи движение относительно этих осей. В силу поступательности движения осейCxyzпереносная скорость каждой точки равна скорости центра масс системы, и количество движения системы, определяемое по формуле (5.3) , характеризует только ее поступательное переносное движение.

5.3. Импульс силы

Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени используют величину, называемую импульсом силы. Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:

. (5.4)

Единица измерения импульса силы в системе СИ равна , т.е. размерности импульса силы и количества движения одинаковы.

Импульс силы за конечный промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса:

. (5.5)

Импульс постоянной силы равен произведению силы на время ее действия:

. (5.6)

В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям на координатные оси:

. (5.7)

5.4. Теорема об изменении количества движения

материальной точки

В основном уравнении динамики (1.2) масса материальной точки – величина постоянная, ее ускорение , что дает возможность записать это уравнение в виде:

. (5.8)

Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме (главному вектору) действующих на точку сил.

Теперь получим интегральную форму этой теоремы. Из соотношения (5.8) следует, что

.

Проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих моментам времени и,

. (5.9)

Интегралы в правой части представляют собой импульсы сил, действующих на точку, поэтому после интегрирования левой части получим

. (5.10)

Таким образом, доказана теорема об изменении количества движения материальной точкив интегральной форме:Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Векторному уравнению (5.10) соответствует система трех уравнений в проекциях на координатные оси:

;

; (5.11)

.

Пример 1.Тело движется поступательно по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. В начальный момент времени оно имело скорость, направленную вверх по наклонной плоскости (рис. 5.2).

Через какое время скорость тела станет равной нулю, если коэффициент трения равен f ?

Примем поступательно движущееся тело за материальную точку и рассмотрим действующие на него силы. Это сила тяжести , нормальная реакция плоскостии сила трения. Направим осьxвдоль наклонной плоскости вверх и запишем 1-е уравнение системы (5.11)

, (5.12)

где проекции количеств движения , а проекции импульсов постоянных сил,иравны произведениям проекций сил на время движения:

.

Так как ускорение тела направлено вдоль наклонной плоскости, сумма проекций на осьyвсех действующих на тело сил равна нулю:, откуда следует, что. Найдем силу трения

и из уравнения (5.12) получим

,

откуда определим время движения тела

.