
- •А.С. Беломытцев
- •Краткий курс
- •Теоретической механики
- •Динамика
- •Введение
- •1.1. Законы динамики Галилея-Ньютона
- •1.2. Дифференциальные уравнения движения
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 2.Колебания материальной точки
- •2.1. Классификация сил, действующих на материальную
- •2.2. Дифференциальное уравнение прямолинейных
- •2.4. Свободные колебания при наличии вязкого
- •Случай малого сопротивления
- •Случай критического сопротивления
- •Случай большого сопротивления
- •2.5. Вынужденные колебания. Общий случай
- •2.6. Вынужденные колебания в среде без сопротивления
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 3.Динамика относительного движения материальной точки
- •3.1. Уравнения относительного движения
- •3.2. Принцип относительности классической механики
- •3.3. Условия относительного покоя. Сила тяжести
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 4.Механическая система. Твердое тело и его моменты инерции
- •4.1. Масса и центр масс механической системы
- •4.2. Внешние и внутренние силы
- •4.3. Моменты инерции твердого тела
- •4.4. Моменты инерции тела относительно параллельных
- •4.5. Примеры определения моментов инерции
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 5.Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс механической системы
- •5.1. Общие теоремы динамики. Меры механического
- •5.2. Количество движения материальной точки
- •5.3. Импульс силы
- •5.4. Теорема об изменении количества движения
- •5.5. Теорема об изменении количества движения
- •5.6. Теорема Эйлера
- •5.7. Теорема о движении центра масс механической системы
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 6.Теорема об изменении кинетического момента
- •6.1. Кинетический момент материальной точки и
- •6.2. Теорема об изменении кинетического момента
- •6.3. Теорема об изменении кинетического момента
- •6.4. Дифференциальное уравнение вращательного движения
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 7.Теорема об изменении кинетической энергии
- •7.1. Кинетическая энергия материальной точки
- •7.2. Кинетическая энергия твердого тела
- •7.3. Работа силы и ее мощность
- •7.4. Определение работ некоторых сил
- •7.5. Теорема об изменении кинетической энергии
- •7.6. Теорема об изменении кинетической энергии
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 8.Метод кинетостатики
- •8.1. Сила инерции и принцип Даламбера для материальной
- •8.2. Принцип Даламбера для механической системы
- •8.3. Уравнения кинетостатики для механической системы
- •8.4. Главный вектор и главный момент сил инерции
- •8.5. Приведение сил инерции точек твердого тела
- •Вопросы для самоконтроля
- •Лекция 9.Элементы аналитической механики
- •9.1. Вступление
- •9.2. Связи и их классификация
- •9.3. Возможные и виртуальные перемещения
- •9.4. Число степеней свободы системы и обобщенные
- •9.5. Основная задача динамики несвободной системы.
- •9.6. Обобщенные силы
- •9.7. Общее уравнение динамики
- •9.8. Уравнения Лагранжа второго рода
- •9.9. Принцип виртуальных перемещений
- •Вопросы для самоконтроля
- •Рекомендуемая ЛитературА
- •Содержание
- •Короткий курс теоретичної механіки. Динаміка
- •61002, Харків, вул. Фрунзе, 21
5.2. Количество движения материальной точки
и механической системы
Количество
движения материальной точки – это
векторная мера механического движения,
равная произведению массы точки на ее
скорость,
.
Единица измерения количества движения
в системе СИ –
.
Количество движения механической
системы равно сумме количеств движений
всех материальных точек, образующих
систему:
.
(5.2)
Преобразуем полученную формулу
.
Согласно формуле (4.2)
,
поэтому
.
Таким образом, количество движения механической системы равно произведению ее массы на скорость центра масс:
.
(5.3)
Поскольку количество движения системы определяется движением только одной ее точки (центра масс), оно не может быть полной характеристикой движения системы. Действительно, при любом движении системы, когда ее центр масс остается неподвижным, количество движения системы равно нулю. Например, это имеет место при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.
Введем
систему отсчетаCxyz,
имеющую начало в центре масс механической
системыСи движущуюся поступательно
относительно инерциальной системы
(рис. 5.1). Тогда движение каждой точки
можно рассматривать как сложное:
переносное движение вместе с осямиCxyzи движение относительно этих осей. В
силу поступательности движения осейCxyzпереносная скорость
каждой точки равна скорости центра масс
системы, и количество движения системы,
определяемое по формуле (5.3) , характеризует
только ее поступательное переносное
движение.
5.3. Импульс силы
Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени используют величину, называемую импульсом силы. Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:
.
(5.4)
Единица
измерения импульса силы в системе СИ
равна
,
т.е. размерности импульса силы и количества
движения одинаковы.
Импульс силы
за конечный промежуток времени
равен определенному интегралу от
элементарного импульса:
.
(5.5)
Импульс постоянной силы равен произведению силы на время ее действия:
.
(5.6)
В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям на координатные оси:
.
(5.7)
5.4. Теорема об изменении количества движения
материальной точки
В основном
уравнении динамики (1.2) масса материальной
точки – величина постоянная, ее ускорение
,
что дает возможность записать это
уравнение в виде:
.
(5.8)
Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме (главному вектору) действующих на точку сил.
Теперь получим интегральную форму этой теоремы. Из соотношения (5.8) следует, что
.
Проинтегрируем
обе части равенства в пределах,
соответствующих моментам времени
и
,
.
(5.9)
Интегралы в правой части представляют собой импульсы сил, действующих на точку, поэтому после интегрирования левой части получим
.
(5.10)
Таким образом, доказана теорема об изменении количества движения материальной точкив интегральной форме:Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на точку сил за тот же промежуток времени.
Векторному уравнению (5.10) соответствует система трех уравнений в проекциях на координатные оси:
;
;
(5.11)
.
Пример 1.Тело движется
поступательно по наклонной плоскости,
образующей угол α с горизонтом. В
начальный момент времени оно имело
скорость,
направленную вверх по наклонной плоскости
(рис. 5.2).
Через какое время скорость тела станет равной нулю, если коэффициент трения равен f ?
Примем
поступательно движущееся тело за
материальную точку и рассмотрим
действующие на него силы. Это сила
тяжести
,
нормальная реакция плоскости
и сила трения
.
Направим осьxвдоль
наклонной плоскости вверх и запишем
1-е уравнение системы (5.11)
,
(5.12)
где проекции
количеств движения
,
а проекции импульсов постоянных сил
,
и
равны произведениям проекций сил на
время движения:
.
Так
как ускорение тела направлено вдоль
наклонной плоскости, сумма проекций на
осьyвсех действующих
на тело сил равна нулю:
,
откуда следует, что
.
Найдем силу трения
и из уравнения (5.12) получим
,
откуда определим время движения тела
.