1.1. Законы динамики Галилея-Ньютона

Простейшим объектом, изучаемым в динамике, является материальная точка, под которой подразумевают тело, имеющее конечную массу и настолько малые размеры, что различием в движении его частиц можно пренебречь, т.е. материальная точка – это точка, имеющая массу. Любое тело может быть представлено как совокупность материальных точек. Оно обладает свойством инертности, которое проявляется в сохранении движения, совершаемого телом при отсутствии действующих на него сил, и в постепенном изменении этого движения с течением времени, если на тело начинают действовать силы.

Мерой инертностиматериальной точки является ее масса, которую в классической механике считают величиной скалярной и постоянной.

Основные законы динамики были изложены в 1687 году в работе И.Ньютона «Математические начала натуральной философии».

Первый законили принцип инерции, сформулированный Галилеем в 1638 году.Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.

Систему отсчета, в которой выполняется принцип инерции, называют инерциальной. Таким образом, принцип инерции утверждает, что существует такая система отсчета (инерциальная), в которой материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, если на нее не действуют силы.

Инерциальность той или иной системы отсчета может быть проверена на основании экспериментов. Установлено, что весьма близка к инерциальной гелиоцентрическая система отсчета, начало координат которой совпадает с центром Солнца, а оси направлены на «неподвижные» звезды. Для большинства технических задач в качестве инерциальной может быть принята система отсчета, жестко связанная с Землей.

Второй закон(основной закон динамики).В инерциальной системе отсчета произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием силы, равно этой силе:

. (1.1)

Третий закон(закон равенства действия и противодействия).Силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Этот закон справедлив как для задач статики, так и для задач динамики.

Четвертый закон(закон параллелограмма сил).Система сил, действующая на материальную точку, эквивалентна одной силе, равной геометрической сумме всех сил системы.

Этот закон является таким же универсальным, как и предыдущий. Таким образом, действующая на материальную точку система сил эквивалентна, где

,

откуда, используя (1.1), получим

или

. (1.2)

Данное уравнение называют основным уравнение динамики материальной точки.

1.2. Дифференциальные уравнения движения

материальной точки

Введем в рассмотрение радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в инерциальной системе отсчета, и найдем ускорение точки, тогда уравнение (1.2) примет вид:

. (1.3)

Равенство (1.3) представляет собой дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме. Оно эквивалентно трем скалярным уравнениям, зависящим от выбора координатных осей, на которые проецируется основное уравнение динамики (1.2). Спроецируем это уравнение на оси неподвижной декартовой системы координат, учитывая, что проекции ускорения ,,, и получим

, (1.4)

где x,y,z– декартовы координаты точки.

При использовании естественной формы описания движения точки спроецируем уравнение (1.2) на оси естественного трехгранника. Из кинематики известны выражения для проекций ускорения точки на касательную τ, нормаль nи бинормальb

,

учитывая которые, получим

, (1.5)

где S=S(t) – закон движения точки по траектории; ρ – радиус кривизны траектории в текущей точке. Из последнего уравнения (1.5) следует, что равнодействующая сил, приложенных к точке, лежит в соприкасающейся плоскости τn.

При решении первой задачи динамики, когда закон движения точки известен, беря производные, можно определить левые части уравнений движения (1.4) или (1.5). В этом случае получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных сил.

При решении второй задачи динамики известны силы, действующие на материальную точку, т.е. правые части уравнений (1.4) или (1.5), которые в данном случае являются дифференциальными уравнениями относительно декартовых или естественной координат точки. Интегрирование этих уравнений позволяет определить закон движения точки.

Пример.Материальная точкаМ массойmдвижется под действием силы тяжести в среде без сопротивления. В начальный момент она находилась на высотеhнад поверхностью Земли и имела горизонтально направленную скорость.

Определить расстояние L, которое пройдет точка в горизонтальном направлении до момента касания поверхности Земли.

Введем неподвижную декартову систему координат, у которой ось xнаправлена горизонтально и параллельна начальной скорости, а осьyвертикальна и проходит через начальное положение точкиМ₀ (рис. 1.1). Очевидно, что движение точки будет происходить в вертикальной плоскостиxOy, поэтому 3-ю координатную ось вводить не будем. На точку действует сила тяжести, проекции которой на координатные осии. Дифференциальные уравнения движения (1.4) примут вид:

или

.

Проинтегрируем эти уравнения:

;

(1.6)

.

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия:

при t= 0. (1.7)

Из уравнений (1.6) получим

Подставим постоянные в систему уравнений (1.6) и найдем зависимости проекций скоростии координатx,yточки от времени:

В момент касания поверхности Земли координата точки y= 0, поэтому время полетаt₁определим из уравнения

или,

откуда получим . Теперь определим расстояниеL, т.е. горизонтальную дальность полета точки

.