4.4. Моменты инерции тела относительно параллельных

осей

Рассмотрим соотношение между моментами инерции твердого тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера.Момент инерции телаотносительно некоторой оси равен его моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для доказательства теоремы используем координатные системы и(рис. 4.2), у которых осиисовпадают,,, гдеC– центр масс тела. Рассмотрим моменты инерции тела относительно осейи, расстояние между которыми равноd.

Соотношения между координатами произвольной точки , определяемыми в системахи, будут такими:. В соответствии с формулами (4.6) получим

, (4.11)

где

.

Из формул (4.3), определяющих координаты центра масс, следует, что

так как . Из формулы (4.11) получим

. (4.12)

Таким образом, если рассмотреть систему параллельных осей, то наименьший момент инерции тело имеет относительно оси, проходящей через центр масс.

4.5. Примеры определения моментов инерции

однородных тел

4.5.1. Определим момент инерции тонкого однородного стержня постоянного сечения относительно осиz, перпендикулярной оси стержня и проходящей через его конец (рис. 4.3). Разделим стержень по длине на малые элементы. Массу элемента длинойнайдем из равенства

,

где – масса единицы длины стержня,mиl– его масса и длина.

Момент инерции стержня определим по 3-й формуле (4.6), положив, что ,

.

Переходя к пределу суммы, получим определенный интеграл

. (4.13)

Для определения момента инерции стержня относительно оси , проходящей через его центр масс параллельно оси, используем соотношение (4.12)

,

откуда получим

. (4.14)

4.5.2. Определим момент инерции круглого однородного цилиндра относительно его продольной оси Cz(рис. 4.4). Пусть радиус цилиндра равенR, а его массаm.

Построим цилиндрическую трубку радиусом и толщиной. Масса этой трубки, где– площадь кольца,;– масса цилиндра, соответствующая единице площади основания,.

Так как все элементы трубки находятся на одинаковом расстоянии от ее оси, момент инерции цилиндра найдем по формуле

.

Переходя к пределу суммы, получим определенный интеграл

. (4.15)

Вопросы для самоконтроля

1. Как определить положение центра масс механической системы?

2. Как записать выражение для декартовых координат центра масс?

3. Что такое внешние и внутренние силы?

4. Каковы свойства внутренних сил?

5. Что такое осевые, полярные и центробежные моменты инерции твердого тела?

6. Как сформулировать теорему о моментах инерции тела относительно параллельных осей?

Лекция 5.Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс механической системы

5.1. Общие теоремы динамики. Меры механического

движения и меры действия сил

Как уже отмечалось, любая механическая система может быть представлена как совокупность материальных точек. Движение каждой из них описывается дифференциальным уравнением вида (1.3) и, следовательно, движение всей системы определяется дифференциальными уравнениями

, (5.1)

где ,– равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих наj-ю точку системы. Непосредственное использование уравнений (5.1) для исследования механической системы ограничивается как количеством ее точек, так и необходимостью учета внутренних сил, которые в большинстве случаев являются неизвестными.

Рассматриваемые ниже общие теоремы динамики позволяют определять общие динамические характеристики движения системы, не исследуя движение ее отдельных точек. Они устанавливают соотношения между мерами механического движения (количеством движения, кинетическим моментом и кинетической энергией) и мерами действия силы (импульсом, моментом и работой силы).