Вопросы для самоконтроля

1. Чему равна переносная сила инерции?

2. Чему равна кориолисова сила инерции?

3. Какой вид имеет основное уравнение динамики относительного движения материальной точки?

4. Чем объяснить явление размыва берегов рек, текущих вдоль меридиана?

5. Как сформулировать принцип относительности классической механики?

6. Каковы условия относительного покоя?

7. Чему равна сила тяжести материальной точки?

8. Как зависит сила тяжести материальной точки от географической широты?

Лекция 4.Механическая система. Твердое тело и его моменты инерции

4.1. Масса и центр масс механической системы

Механической системойназывают любую совокупность материальных точек. В частности, любое твердое тело, которое можно представить как совокупность его частиц, образует механическую систему. Масса механической системы равна сумме масс материальных точек, образующих эту систему:

, (4.1)

где N– число всех точек системы.

Центром массмеханической системы называют геометрическую точку, радиус-вектор которойи декартовы координаты:

; (4.2)

, (4.3)

где – радиус-вектор и координатыj-й точки системы.

4.2. Внешние и внутренние силы

Все силы, действующие на точки механической системы, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называют силы, действующие на точки механической системы со стороны тел, не входящих в состав данной системы.Внутренниминазывают силы взаимодействия между материальными точками рассматриваемой системы. Введем обозначения: внешние силы –, внутренние –, где индексыe,i– первые буквы французских слов «exterieur» (внешний) и «interieur» (внутренний).

Из 3-го закона динамики следует, что для каждой внутренней силы существует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и направленная вдоль той же прямой в противоположную сторону. Таким образом, геометрическая сумма этих сил, а также сумма их моментов относительно произвольной точки равны нулю, что позволяет сформулировать следующие свойства внутренних сил:

1) геометрическая сумма всех внутренних сил (главный вектор) системы равна нулю:

; (4.4)

2) геометрическая сумма моментов всех внутренних сил (главный момент) системы относительно произвольной точки Оравна нулю:

, (4.5)

где – равнодействующая внутренних сил, действующих наj-ю точку.

4.3. Моменты инерции твердого тела

Инертность поступательно движущегося тела, как и одной материальной точки, полностью определяется его массой. При более сложном движении тела необходимо учитывать распределение массы в пространстве. Характеристиками такого распределения являются моменты инерции.

Проведем через произвольную точкуОтри взаимно перпендикулярные координатные осиx,y,zи представим тело как совокупность материальных точек (рис. 4.1).Моментом инерциитвердого тела относительно оси(осевым моментом инерции) называют величину, равную сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от данной оси.

Обозначив моменты инерции тела относительно осей x,y,zчерези опустив из точкиперпендикулярына эти оси, получим

;

. (4.6)

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, например, оси z, можно представить в виде произведения массы тела на квадрат величины, называемойрадиусом инерциитела относительно данной оси:

. (4.7)

Таким образом, радиус инерции равен расстоянию от осиzдо точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы момент инерции точки относительно этой оси был равен моменту инерции тела.

Моментом инерциитвердого тела относительно полюса(полярным моментом инерции) называют величину, равную сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от данного полюса. Обозначив черезмомент инерции тела относительно начала координатО, запишем

. (4.8)

Сравнивая формулы (4.6) и (4.8), можно определить зависимости между осевыми и полярным моментами инерции

. (4.9)

Осевые и полярные моменты инерции – величины неотрицательные. Осевой момент инерции равен нулю только в том случае, когда вся масса тела распределена вдоль оси, относительно которой этот момент определяют.

Для характеристики распределения массы тела используют также центробежные моменты инерции, определяемые равенствами:

. (4.10)

Из приведенной формулы видно, что центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов: . Они зависят как от направления координатных осей, так и от выбора начала координат. В отличие от осевых и полярных, центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными и нулевыми.

Если оба центробежных момента инерции, содержащие в индексах обозначение некоторой оси, равны нулю, то эту ось называют главной осью инерции тела в данной точке. Пусть, тогда

ось y– главная ось инерции. Если эта ось проходит через центр масс тела, то ее называютглавной центральной осью инерции.

Отметим два частных случая.

■ Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то для любой ее точки ось, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции.

■ Если тело имеет ось материальной симметрии, то она является главной центральной осью инерции тела. Под материальной симметрией понимают не только геометрическую симметрию, но и симметричное распределение плотности.