2.6. Вынужденные колебания в среде без сопротивления

В случае отсутствия сопротивления (n= 0) прииз формулы (2.20) получим, что, и уравнение вынужденных колебаний примет вид:

, (2.28)

а коэффициент динамичности

(2.29)

будет иметь разрыв 2-го рода при z= 1 (это кривая на рис. 2.8 приb= 0). Если, тои фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. Если, тои

,

т.е. сдвиг фаз ε = π (кривая на рис. 2.9 при b= 0).

В случае совпадения частоты возмущающей силы pи частоты свободных гармонических колебанийk, называемойсобственной частотой, возникает явление резонанса. Тогда частное решение дифференциального уравнения

, (2.30)

которое можно получить из уравнения (2.1) при n=0, будем искать в виде:

. (2.31)

Определим производные:

. (2.32)

Подставим (2.31) и (2.32) в уравнение (2.30)

.

Учтем, что p=k, тогда, откуда получим

;

. (2.33)

Таким образом, при резонансе возникают колебания с частотойp=k, размахи которых с течением времени возрастают неограниченно, причем увеличение размахов пропорционально времени. График таких колебаний приведен на рис. 2.10.

Вопросы для самоконтроля

1. Под действием каких сил материальная точка совершает колебания?

2. Какие колебания материальной точки называют свободными?

3. В чем заключается свойство изохронности свободных колебаний?

4. Каково влияние малого сопротивления на свободные колебания материальной точки?

5. Как формулируют условия неколебательного движения материальной точки?

6. Чему равны частота и период вынужденных колебаний?

7. Что такое коэффициент динамичности?

8. Каковы зависимости коэффициента динамичности от частоты возмущающего воздействия и сопротивления среды?

9. В чем заключается явление резонанса и каковы его условия?

Лекция 3.Динамика относительного движения материальной точки

3.1. Уравнения относительного движения

Два первых закона динамики и все соотношения, полученные из них, в том числе и основное уравнение динамики

, (3.1)

справедливы только при движении точки относительно инерциальной системы отсчета.

Рассмотрим движение точкиMотносительно неинерциальной системы отсчета (рис. 3.1). Пусть системаявляется инерциальной (в дальнейшем будем называть еенеподвижной), а системаOxyz– неинерциальной и дви-жущейся относительной неподвижной системы отсчета. Будем также считать, что переносное движение системыOxyzи силы, действующие на точкуMизвестны. Воспользуемся теоремой Кориолиса, в соответствии с которой абсолютное ускорение точкиравно геометрической сумме относительного, переносногои кориолисоваускорений:

. (3.2)

Подставляя (3.2) в уравнение (3.1), получим

или

. (3.3)

Введем векторы

(3.4)

называемые переноснойикориолисовойсилами инерции, тогда уравнение (3.3) примет вид:

. (3.5)

Оно представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки. Таким образом, если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить переносную и кориолисову силы инерции, то уравнение относительного движения точки (3.5) сохранит форму основного уравнения динамики (3.1).

Для определения сил инерции необходимо найти соответствующие ускорения точки. Воспользуемся известными из кинематики соотношениями. Переносное ускорение представим как абсолютное ускорение точки, неизменно связанной с подвижной системой отсчета:

,

где – ускорение начала координат подвижной системы;– угловое ускорение и угловая скорость подвижной системы;– радиус-вектор точки в подвижной системе координат. Кориолисово ускорение, где– относительная скорость точки. Как следует из выражений (3.4), силы инерциинаправлены противоположно ускорениям.

Сопоставление уравнений (3.1) и (3.5) показывает, что в инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки является лишь результатом действия на нее сил, т.е. взаимодействия с другими телами. В неинерциальной системе отсчета ускорение материальной точки зависит как от действующих на нее сил, так и от движения самой системы отсчета.

Спроецируем векторное уравнение (3.5) на оси подвижной системы Oxyzи получим дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки:

;

; (3.6)

,

где – проекции относительного ускорения на оси подвижной системы.

Рассмотрим в качестве примера использования уравнений относительного движения явление размыва берегов рек. Как известно, в северном полушарии правые берега рек, текущих вдоль меридиана, обычно обрывистые, а левые – пологие. Для объяснения этого явления возьмем некоторый объем водыМ, заключенный между двумя сечениями реки, текущей с юга на север (рис. 3.2). На этот объем действует сила притяжения Земли, реакция днаи реакция берега. Для записи уравнения движения в неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, введем переноснуюи кориолисовусилы инерции. Переносное ускорениенаправлено к оси вращения Земли, так как Земля вращается равномерно с угловой скоростью, а переносная сила инерции – в противоположную сторону. Кориолисово ускорениенаправлено на запад, а кориолисова сила инерции – на восток.

Уравнение относительного движения имеет вид:

.

Спроецируем его на ось Mx, направленную на восток вдоль касательной к параллели, учитывая, что относительное ускорениележит в плоскости меридиана, и получимили. Таким образом, реакция берега действительно направлена влево, если смотреть по течению реки. Следовательно, сила давления воды, по 3-му закону динамики, действует противоположно, т.е. на правый берег, постепенно его размывая. Это правило не изменяется и для рек, текущих с севера на юг. В южном полушарии, напротив, размываются левые берега рек.