2.4. Свободные колебания при наличии вязкого

сопротивления

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления. Дифференциальное уравнение такого движения получим, воспользовавшись (2.1), при h= 0

. (2.11)

Его характеристическое уравнение имеет корни

. (2.12)

Характер движения точки существенно зависит от соотношения величин nиk. Рассмотрим три возможных случая этого соотношения.

Случай малого сопротивления

Корни характеристического уравнения (2.12) комплексно сопряженные: , где. Общее решение дифференциального уравнения (2.11) имеет вид:

, (2.13)

где постоянные интегрирования С₁иС₂определяют из начальных условий.

Введем новые постоянные Аи φ₀с помощью соотношений

,

тогда из уравнения (2.13) получим

. (2.14)

Это уравнение описывает затухающие колебания, график которых приведен на рис. 2.6. Они не являются периодическими, но промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями точки от положения равновесия в одну и ту же сторону остается неизменным. Эту величину условно называют периодом затухающих колебаний:, гдеk₁– частота затухающих колебаний.

Скорость затухания колебаний характеризуется отношением величин двух последовательных максимальных отклонений точки от положения равновесия в одну и ту же сторону

,

которое называют декрементом колебаний. Используют также натуральный логарифм этой величины, называемыйлогарифмическим декрементом колебаний. Поскольку частота затухающих колебанийменьше частоты незатухающих колебанийk, появление силы сопротивления приводит к увеличению периода колебаний:. Это изменение может быть весьма незначительным и поэтому основным влиянием, которое оказывает сила сопротивления на свободные колебания, является качественное изменение характера колебаний, которые становятся затухающими.

Случай критического сопротивления

Корни характеристического уравнения (2.12) вещественные, равные и отрицательные , а общее решение дифференциального уравнения (2.11) имеет вид:

. (2.15)

Случай большого сопротивления

Корни характеристического уравнения (2.12) вещественные, отрицательные и различные, а общее решение дифференциального уравнения (2.11) имеет вид:

. (2.16)

В двух последних случаях движение точки теряет колебательный характер и становится апериодическим. В зависимости от величины и направления начальной скорости график колебаний имеет вид одной из трех кривых, приведенных на рис. 2.7.

2.5. Вынужденные колебания. Общий случай

Колебания, которые совершает материальная точка под действием восстанавливающей силы, силы сопротивления и возмущающей силы, называют вынужденными. Их описывают неоднородным дифференциальным уравнением (2.1), которое имеет общее решение

, (2.17)

где – общее решение однородного уравнения (2.11);– частное решение неоднородного уравнения (2.1).

Как уже было показано, при любых соотношениях nиkобщее решение уравнения (2.11) является затухающим, о чем свидетельствуют выражения (2.13), (2.15) и (2.16). Поэтому через достаточно большой промежуток времени после начала движения в решении (2.17) остается только слагаемое, которое будем искать в виде:

. (2.18)

Определим производные:

, (2.19)

затем преобразуем правую часть уравнения (2.1)

и подставим в него выражения (2.18) и (2.19)

Для того чтобы полученное равенство выполнялось тождественно, приравняем коэффициенты при ив левой и правой его частях:и найдем

. (2.20)

Так как и полностью определяется своим тангенсом.

Таким образом, уравнение вынужденных колебаний имеет следующий вид:

. (2.21)

Из него следует, что вынужденные колебания являются незатухающими, а их частота и период равны частоте и периоду возмущающей силы.

Преобразуем выражение для амплитуды вынужденных колебаний

. (2.22)

Отношение частоты возмущающей силы pк частоте свободных гармонических колебанияkназываюткоэффициентом расстройки. Примем обозначения:

,

где – статическое отклонение точки от положения равновесия под действием постоянной силы. Введем в рассмотрение коэффициент динамичности η, равный отношению амплитуды вынужденных колебанийк величине статического отклонения,

. (2.23)

Этот коэффициент зависит от двух параметров, что показано на рис. 2.8, где приведены кривые зависимости коэффициента динамичности η от коэффициента расстройки zдля различных значений безразмерного коэффициента вязкостиb.

Исследуем на экстремум подкоренное выражение знаменателя формулы (2.23):

, (2.24)

для чего приравняем нулю производную

. (2.25)

Неотрицательные корни этого уравнения: . Кореньи остается вещественным, еслиили. Определим 2-ю производную функции (2.24):

.

При иполучим, а прииполучим, т.е. функцияyимеет минимум прии максимум – при, а коэффициент динамичности имеет максимум прии минимум – при. Подставим значенияив формулу (2.23), тогда

, (2.26)

где – максимальное значение коэффициента динамичности при заданномb, приимеем= 1.

Таким образом, как видно из рис. 2.8, при малых значениях b, т.е., ипроисходит резкое увеличение коэффициента динамичности η и, следовательно, амплитуды вынужденных колебаний. С увеличением коэффициентаb, т.е. с ростом сопротивления среды, максимумы амплитуды уменьшаются и сдвигаются влево.

При уравнение (2.25) имеет только один вещественный корень, при котором, т.е. функцияyимеет минимум, а коэффициент динамичности η – максимум.

Фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силына величину ε, называемуюсдвигом фаз. Из формулы (2.20) получим

. (2.27)

Кривые зависимости сдвига фаз ε от коэффициента расстройки zдля различных значений коэффициентаbприведены на рис. 2.9. Приz= 1 сдвиг фаз равен π/2 при любых значенияхb, при дальнейшем ростеzсдвиг фаз стремится к π.