Вопросы для самоконтроля

1. Что изучает динамика?

2. Как сформулировать первую и вторую основные задачи динамики?

3. Как можно определить материальную точку?

4. Как сформулировать законы динамики Галилея-Ньютона?

5. Какую систему отсчета называют инерциальной?

6. Как записать основное уравнение динамики материальной точки?

Лекция 2.Колебания материальной точки

2.1. Классификация сил, действующих на материальную

точку

Исследование колебаний материальной точки, с одной стороны, является примером использования дифференциальных уравнений ее движения. С другой стороны, колебания настолько распространены в природе и технике, что изучение их закономерностей имеет самостоятельное значение. Это значение усиливается тем, что различные по своей физической природе колебательные явления имеют одинаковое математическое описание.

Среди сил, действующих на материальную точку, особое место занимают восстанавливающие силы, стремящиеся вернуть точку в положение равновесия. Они зависят от величины отклонения точки от положения равновесия и направлены в сторону, противоположную отклонению. Именно эти силы придают движению точки колебательный характер.

На рис. 2.1, 2.2 приведены примеры, в 1-м из которых восстанавливающей является сила упругости деформированной пружины, а во 2-м – равнодействующая силы тяжестии архимедовой силы:. В обоих случаях координатаxотсчитывается от положения равновесия тела. Рассматриваемые тела движутся поступательно, поэтому движение каждого из них эквивалентно движению материальной точки.

На движущиеся тела обычно действуют еще и силы сопротивления, зависящие от скорости движения. Это силы трения скольжения, силы сопротивления и др. Кроме того, могут также действоватьвозмущающие силы, являющиеся заданными функциями времени.

В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные колебания материальной точки. При этом восстанавливающие силы будем считать пропорциональными величине отклонения точки от положения равновесия, а силы сопротивления – пропорциональными скорости точки. При выполнении этих условий дифференциальные уравнения движения точки являются линейными, а сами колебания называются линейными колебаниями.

2.2. Дифференциальное уравнение прямолинейных

колебаний материальной точки

Пусть точкаМмассойm притягивается к точкеO силой , пропорциональной расстоянию OM, а начальная скорость точки направлена вдоль прямойOMили равна нулю (рис. 2.3). В этом случае точка Mдвижется прямолинейно, а ее положение определяется одной координатой x, отсчитываемой от положения равновесия (точки O). Проекция восстанавливающей силына ось x:, где с– коэффициент пропорциональности,с> 0.

Пусть на точку Mдействует также сила сопротивления, пропорциональная скорости этой точки и направленная противоположно ей. Проекция силы на ось x:, где β – коэффициент пропорциональности, β > 0. Кроме того, на точку Mдействует гармоническая возмущающая сила, направленная вдоль прямолинейной траектории точки. Проекция этой силы на ось x:, где– амплитуда возмущающей силы,> 0;р– ее частота.

Запишем дифференциальное уравнение движения точкиМ

или

.

Разделим обе части этого уравнения на m, введем обозначения

и получим уравнение

, (2.1)

которое является неоднородным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

2.3. Свободные колебания в среде без сопротивления

Рассмотрим колебания материальной точки, происходящие под действием одной восстанавливающей силы . Такие колебания называютсвободнымии описывают однородным дифференциальным уравнением, которое можно получить из уравнения (2.1), положивn= 0 иh = 0,

. (2.2)

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет чисто мнимые корни, поэтому общее решение уравнения (2.2) запишем в виде:

, (2.3)

где С₁иС₂– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:

. (2.4)

Продифференцируем функцию (2.3)

. (2.5)

Воспользовавшись (2.3)-(2.5), получим

.

Подставив С₁иС₂в уравнение (2.3), запишем закон движения точки

(2.6)

и преобразуем его к более удобному виду. Введя обозначения

, (2.7)

из уравнения (2.6) получим

или

. (2.8)

Таким образом, свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний равна А, фаза, где– начальная фаза. Величинуназываюткруговойилициклическойчастотой колебаний. Период колебанийявляется периодом функции. Последнее соотношение показывает, что круговая частотаkравна числу полных колебаний точки за 2π секунд:k= 2π/T. Таким образом, частота и период гармонических колебаний зависят от массы точки и коэффициента пропорциональности восстанавливающей силы, но не зависят от начальных условий. Это свойство свободных колебаний называютизохронностью. Амплитуда и начальная фаза зависят как от параметров системыm иc, так и от начальных условий. График свободных незатухающих колебаний (2.8) приведен на рис. 2.4.

Пример.Составим дифференциальное уравнение движения грузаM массойm, подвешенного на невесомой пружине жесткостьюс(рис. 2.5). ГрузM, принимаемый за материальную точку, совершает прямолинейные колебания вдоль вертикальной оси x. На него действуют сила тяжестии сила упругости.

Обозначим через O₁положение груза при недеформированной пружине, а черезO – положение статического равновесия груза, от которого будем отсчитывать текущую координатух,δ_ст – статическая деформация пружины. Ее текущая деформация равна, проекция силы упругости, подчиняющейся закону Гука,. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид:

. (2.9)

В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой упругости, которая в этом положении равна , т.е.

. (2.10)

Учитывая (2.10), перепишем уравнение (2.9) в виде:

или,

где . Полученное уравнение совпадает с уравнением (2.2), значит, груз совершает гармонические колебания, частота и период которых полностью определяются величиной статической деформации пружины

.

Если выбрать начало отсчета координаты хв точкеO₁, тои дифференциальное уравнение движения груза примет вид:

или,

т.е. станет неоднородным.

Таким образом, выбор начала отсчета координаты в положении статического равновесия позволяет получить наиболее простую форму дифференциального уравнения движения, что справедливо и для других случаев колебательного движения.