9.9. Принцип виртуальных перемещений

Завершая краткий обзор понятий аналитической механики и методов описания движения механической системы, остановимся на рассмотрении состояния ее равновесия, которое является частным случаем движения системы. Равновесиемявляется такое состояние механической системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил остаются в покое по отношению к выбранной системе отсчета. Будем рассматривать равновесие относительно инерциальной системы отсчета.

Необходимые и достаточные условия равновесия механической системы являются содержанием принципа виртуальных перемещений.Для того чтобы некоторое положение системы, подчиненной идеальным, голономным, стационарным и удерживающим связям, было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы начальные скорости всех точек системы были равны нулю и сумма работ всех активных сил на любом ее виртуальном перемещении из данного положения была равна нулю, т.е.

. (9.46)

Необходимость выполнения этих условий следует из общего уравнения динамики. Действительно, если система находится в равновесии, то скорости и ускорения всех ее точек равны нулю. Поэтому из уравнения (9.23) получим 2-е условие (9.46). Достаточность докажем от противного. Пусть условия (9.46) выполняются, но движение системы началось, и ее точки получили ускорения . Из условия идеальности связей следует

. (9.47)

Теперь сложим 2-е уравнение (9.46) и уравнение (9.47)

,

но , поэтому

. (9.48)

Так как начальные скорости точек нулевые, а связи стационарные, перемещения, которые пропорциональны ускорениям, являются возможными и, следовательно, виртуальными перемещениями точек системы. Выберем в качестве виртуальных перемещений и из (9.48) получим

,

что невозможно, если справедливо предположение о ненулевых ускорениях. Таким образом, ускорения всех точек равны нулю и, поскольку начальные скорости нулевые, система находится в положении равновесия.

В принципе виртуальных перемещений условия равновесия механической системы сформулированы в наиболее общем виде и уравнения равновесия не содержат реакций идеальных связей.

Пример 7.На шток кулисного механизма действует сила, как показано на рис. 9.11.

Определить величину уравновешивающей силы , приложенной в точкеС кулисы перпендикулярно к ней, если заданы угол φ и размерыlиR. Трением пренебречь.

Механизм находится в равновесии под действием двух активных сил и. Сообщим системе виртуальное перемещение, при котором угол φ получит приращение δφ, а координатаползунаА– приращение, и запишем уравнение равновесия

. (9.49)

Зависимости между вариациями координат можно установить аналитическим или геометрическим способом.

Аналитический способ. Определив зависимость между координатами, проварьируем ее:

. (9.50)

Геометрический способ. Рассмотрим абсолютное перемещениеползуна как сумму его переносногои относительногоперемещений. Тогда получим

,

что совпадает с соотношением(9.50). Подставим его в уравнение (9.49)

.

Разделим полученное уравнение на величину и найдем

.

Пусть положение системы определяется sобобщенными координатами, тогда виртуальную работу активных сил можно вычислить по формуле (9.17) и уравнение (9.46) примет вид:

. (9.51)

Однако вариации произвольны и независимы, поэтому из уравнения (9.51) следует, что все обобщенные силы равны нулю, т.е.

. (9.52)

Таким образом, для равновесия системы с идеальными, голономными, стационарными и удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы начальные скорости всех точек системы и все обобщенные силы были равны нулю.

Используем полученные условия для определения положений равновесия системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 9.7. Для этого приравняем нулю обобщенные силы и, которые можно найти по формулам (9.19) и (9.20):

; (9.53)

. (9.54)

Конструкция системы такова, что , поэтомуи из уравнения (9.53) следует, что. Это значит, что равновесие системы возможно при(нижнее вертикальное положение стержня) и при(его верхнее вертикальное положение). Из уравнения (9.54) приследует, что, т.е пружина растянута, а приполучим, т.е. пружина сжата.