9.8. Уравнения Лагранжа второго рода

Преобразуем уравнение (9.23), подставив в него вариацию радиус-вектора по формуле (9.13)

Изменяя порядок суммирования, получим

Учитывая формулу (9.16) для обобщенной силы , упростим последнее равенство

(9.28)

Преобразуем произведение под знаком суммы:

(9.29)

Скорость j-й точки системы

(9.30)

линейно зависит от обобщенных скоростей , так как радиус-векторыи, следовательно, их частные производныезависят только от обобщенных координат и времени, как следует из формулы (9.12). Поэтому, дифференцируя частным образом обе части равенства (9.30) по обобщенной скорости, получим

. (9.31)

Продифференцируем (9.30) по обобщенной координате:

(9.32)

.

Последний результат является следствием независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

Учитывая равенства (9.31) и (9.32), перепишем соотношение (9.29)

, (9.33)

где – кинетическая энергияj-й точки системы. Подставим полученное соотношение в уравнение (9.28):

. (9.34)

Изменяя порядок суммирования и дифференцирования, а также учитывая, что , гдеТ– кинетическая энергия системы, из уравнения (9.34) получим

. (9.35)

Так как вариации обобщенных координат являются произвольными независимыми величинами, равенство (9.35) имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты приравны нулю, т.е.

. (9.36)

Уравнения (9.36) носят название уравнений Лагранжа второго родаилиуравнений Лагранжа в независимых координатах. После выполнения операций дифференцирования в левые части этих уравнений входят такие параметры: времяt, обобщенные координаты, обобщенные скоростии обобщенные ускорения. Обобщенные силызависят от параметровt,,. Таким образом, уравнения Лагранжа представляют собой системуsобыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, т.е. порядок всей системы равен 2s. Однако порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение голономной системы сsстепенями свободы, не может быть меньше, чем 2s, так как в силу произвольности начальных значений величини,решение системы должно содержать, по крайней мере, 2sпроизвольных постоянных. Поэтому система уравнений Лагранжа второго рода имеет наименьший возможный порядок.

Интегрирование уравнений (9.36) позволяет получить зависимости обобщенных координат от времени , что полностью определяет движение системы. В случае несвободной системы следует также определить реакции идеальных связей, которые не входят в уравнения Лагранжа. Подставив зависимостив выражения (9.12), получим зависимости радиус-векторов точек системы от времени, дифференцируя которые, определим скоростии ускорениявсех точек. После этого найдем реакции связей из уравнений (9.21)

.

Пример 6.Решим задачу (см. рис. 9.8 примера 5 из подраздела 9.7) с помощью уравнения Лагранжа второго рода.

Система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем координату хгруза 1 (рис. 9.9), тогда уравнение Лагранжа запишем так:

. (9.37)

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел 1, 2 и 3

. (9.38)

Груз 1 движется поступательно, барабан 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 совершает плоское движение. Запишем их кинетические энергии:

, (9.39)

где моменты инерции:

. (9.40)

Выразим все скорости через обобщенную скорость , учитывая, что в точкеРнаходится мгновенный центр скоростей катка:

. (9.41)

Из соотношений (9.38)-(9.41) получим

. (9.42)

Определим производные от кинетической энергии:

. (9.43)

Для нахождения обобщенной силысообщим системе виртуальное перемещение, при котором барабан 2 повернется на угол, груз 1 переместится на расстояние, а центр масс катка 3 – на. Определим сумму работ активных сил на этом перемещении. Так как силаприложена в неподвижной точке, а центр масс катка движется в горизонтальной плоскости, работы силиравны нулю. Таким образом, работу совершают только силыи

,

откуда

. (9.44)

Подставив (9.43) и (9.44) в уравнение (9.37), получим дифференциальное уравнение движения системы

,

откуда определим ускорение груза 1

.

В качестве еще одного примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы, приведенную на рис. 9.7 в подразделе 9.6, для которой получим дифференциальные уравнения движения. Используя выбранные ранее обобщенные координаты φ и х, составим уравнения Лагранжа второго рода:

;. (9.45)

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий стержня 1 и шарика 2 (рис. 9.10): . Стержень вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью, а шарик, принимаемый за материальную точку, совершает сложное движение. Его относительная скоростьнаправлена вдоль стержня, переносная скоростьперпендикулярна стержню,.

Определим кинетические энергии:

▪ стержня 1

,

где – момент инерции стержня относительно оси вращения;

▪ шарика 2

;

▪ системы

.

Определим производные от кинетической энергии:

;

;

.

Подставим полученные соотношения, а также определенные ранее обобщенные силы (9.19) и (9.20) в уравнения (9.45) и получим дифференциальные уравнения движения данной системы

;

.

Зависимости обобщенных координат от времени, описывающие движение системы, могут быть определены путем численного интегрирования полученных нелинейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях.