9.7. Общее уравнение динамики

Далее везде будем рассматривать систему, состоящую изNматериальных точек, с идеальными и голономными связями, положение которой однозначно определяетсяsобобщенными координатами. Запишем для каждой точки системы основное уравнение динамики

или

. (9.21)

Зафиксируем время и дадим системе виртуальное перемещение, при котором радиус-векторы точек получат приращения . Умножим скалярно каждое уравнение (9.21) наи сложим полученные произведения

. (9.22)

Так как связи идеальные, последняя сумма равна нулю и из уравнения (9.22) получим

. (9.23)

Учитывая, что – это сила инерцииj-й материальной точки,– работы активной силы и силы инерции, перепишем равенство (9.23) в виде:

. (9.24)

Это уравнение называют общим уравнением динамики. Оно утверждает, что при движении системы с идеальными связями в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении системы равна нулю.

Пример 5.Груз 1, движущийся вниз по наклонной плоскости, приводит в движение барабан 2 и каток 3. Радиус инерции барабана относительно оси вращения; коэффициент трения скольжения; веса тел 1, 2 и 3:.

Определить ускорение груза, считая каток однородным цилиндром, который катится без скольжения, и пренебрегая трением качения и силами сопротивления в подшипниках.

Для решения задачи используем общее уравнение динамики. Покажем на рисунке активные силы, действующие на систему (силы тяжести) и силу трения скольжения, к которым добавим силы инерции. Для поступательно движущегося груза 1 они приведены к равнодействующей, модуль которой

;

для барабана 2, вращающегося вокруг неподвижной оси, – к паре сил, момент которой

;

для катка 3, совершающего плоское движение, – к силе, приложенной в его центре масс, модуль которой

,

и к паре сил, момент которой

,

где – ускорения груза и центра масс катка;– угловые ускорения барабана и катка.

Сообщим системе виртуальное перемещение в направлении ее действительного движения и составим общее уравнение динамики (9.24), которое для данной системы примет вид:

, (9.25)

где – перемещения груза и центра масс катка;– углы поворота барабана и катка;– модуль силы трения, равный. Система имеет одну степень свободы, поэтому все вариации координат можно выразить через одну из них. Учитывая, что точкаР– мгновенный центр скоростей катка, получим

. (9.26)

Определим зависимости между ускорениями:

. (9.27)

Подставим в уравнение (9.25) выражения для сил и моментов сил инерции, а также соотношения (9.26), (9.27) и получим

Разделим это уравнение на величину и определим

;

;

.

Общее уравнение динамики позволяет получать дифференциальные уравнения движения механической системы, в которые не входят реакции идеальных связей. Оно может быть использовано для систем как с одной, так и с несколькими степенями свободы. В последнем случае дифференциальные уравнения движения, число которых совпадает с числом степеней свободы системы, могут быть получены путем составления уравнения (9.24) для sнезависимых между собой виртуальных перемещений системы. Однако эффективность использования общего уравнения динамики существенно снижается с увеличением числа степеней свободы системы. Это связано с необходимостью введения сил инерции и, следовательно, определением абсолютных ускорений ее точек, что приводит к достаточно громоздким выкладкам. В таких случаях более удобным является составление дифференциальных уравнений движения в форме уравнений Лагранжа второго рода, которые будут получены в следующем подразделе.