9.5. Основная задача динамики несвободной системы.

Идеальные связи

Разделим силы, действующие на точки механической системы, на активные силы и реакции связей. В отличие от заранее неизвестных реакций связей, активные силы являются заданными функциями времени, положений и скоростей точек системы

.

Запишем дифференциальные уравнения движение системы:

. (9.8)

Основную задачу динамики несвободной системы можно сформулировать так: определить движение системы и реакции связей, если известны активные силы и заданы совместимые со связями начальные положения и начальные скорости точек системы. В этой задаче 6Nнеизвестных величин: 3Nдекартовых координат точеки 3Nпроекций реакций связей . Количество скалярных соотношений, связывающих неизвестные величины, равно 3N+d: 3Nуравнений (9.8) иdуравнений связей. Для того чтобы основная задача динамики стала определенной, необходимы дополнительные соотношения, число которых должно быть равным 6N– (3N+d) = 3N–d=s. Эти соотношения можно получить, считая все связи, наложенные на систему, идеальными.

Связи называют идеальными, если сумма работ реакций связей на любом виртуальном перемещении системы из любого ее положения равна нулю:

. (9.9)

Перепишем полученное равенство в развернутом виде

.(9.10)

Среди 3Nвариаций координатесть 3N–d=sнезависимых. Поэтому, выразив 3N–s =dзависимых вариаций в равенстве (9.10) через независимые и приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях, получим необходимыеsсоотношений.

Рассмотрим в качестве примера идеальной связи гладкую неподвижную поверхность (рис. 9.6), по которой движется материальная точкаМ. Так как реакция поверхности направлена по нормали к ней в данной точке, а вектор любого виртуального перемещения лежит в плоскости, касательной к поверхности в точкеМ, скалярное произведение

. (9.11)

Гладкая поверхность является идеальной связью и в том случае, когда она движется или деформируется. Действительно, определяя виртуальное перемещение, фиксируют время, чем «останавливают» связь, поэтому вектор остается в касательной плоскости. Так как реакция гладкой поверхности и в случае подвижной или деформирующейся поверхности направлена по нормали к ней, условие (9.11) выполняется.

Нетрудно показать, что идеальными являются и другие связи, используемые в механических моделях. К их числу относятся шарниры без трения, невесомые недеформируемые стержни, внутренние связи абсолютно твердого тела и другие. В тех случаях, когда трением пренебречь нельзя, можно учитывать только нормальные составляющие реакций шероховатых поверхностей, относя силы трения к числу неизвестных активных сил. Эти неизвестные определяют с помощью дополнительных соотношений, вытекающих из экспериментально полученных законов трения.

В дальнейшем все связи, наложенные на системы, будем считать идеальными.

9.6. Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему, положение которой однозначно определяется sобобщенными координатами.

Выразим радиус-векторы точек системы через обобщенные координаты и время

(9.12)

и найдем вариации радиус-векторов

. (9.13)

Определим сумму работ всех активных сил на некотором виртуальном перемещении системы

. (9.14)

Из формул (9.14) и (9.13), изменяя порядок суммирования, получим

. (9.15)

Введем обозначения

, (9.16)

тогда равенство (9.15) примет вид:

. (9.17)

Величину , равную коэффициенту при вариации обобщенной координатыв выражении для виртуальной работы активных сил системы, называютобобщенной силой, соответствующей обобщенной координате.

При определении обобщенных сил можно использовать следующий прием. Дадим системе такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, соответствующая искомой обобщенной силе, и вычислим сумму работ активных сил. Допустим, что , тогда из равенства (9.17) получим, т.е.

. (9.18)

Аналогично можно определить и остальные обобщенные силы.

Пример 4.Система состоит из тонкого однородного стержня 1 длинойlи шарика 2, принимаемого за материальную точку (рис. 9.7).

Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси О, а шарик имеет отверстие, позволяющее ему скользить вдоль стержня. Невесомая пружина навита на стержень, один ее конец соединен с шариком, а второй – закреплен в точкеО. Жесткость пружины и ее длина в недеформированном состоянии соответственно равныcиb, а массы стержня и шарика –и.

Ввести обобщенные координаты и определить обобщенные силы. Трением пренебречь.

Положение системы полностью определяется двумя координатами: углом φ отклонения стержня от вертикали и деформацией пружины х, которые примем за обобщенные координаты. Система, таким образом, имеет две степени свободы. Покажем действующие на систему активные силы: силы тяжестии силу упругости пружины.

Для определения обобщенной силы , соответствующей обобщенной координате φ, дадим системе виртуальное перемещение, при котором координатахне изменяется, а угол φ получает приращение δφ. На этом перемещении работу совершают только силы тяжести, так как силаперпендикулярна направлению перемещения шарика. Определим работы сил тяжести по формуле (7.21), предварительно вычислив их моменты относительно оси вращения:

. (9.19)

Для определения обобщенной силы дадим системе виртуальное перемещение, при котором не будет изменяться угол φ, а координатахполучит приращение δх. На этом перемещении работу совершат две силы: сила тяжестии сила упругости пружины, модуль которой:

. (9.20)