9.3. Возможные и виртуальные перемещения

Рассмотрим одну материальную точку, подчиненную нестационарной голономной связи, уравнение которой имеет вид:

f(x,y,z,t) = 0, (9.4)

где x,y,z– координаты точки,t– время. Это уравнение описывает поверхность, которая изменяется с течением времени. В силу уравнения (9.4) точка должна перемещаться по этой поверхности, поэтому дифференциалы координат при кинематически возможном перемещении точки должны удовлетворять соотношению

. (9.5)

Вектор , определяемый своими проекциямиdx,dy,dzпри бесконечно малом времени, называютвектором возможного перемещения точки.

Зафиксируем теперь время tв уравнении (9.4) и рассмотрим допускаемое связью перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, которое она может занимать в тот же момент времени. Это перемещение выражают изохронной вариацией радиус-вектора точки и называютвектором виртуального перемещения. Вариации координат δx, δy, δz связаны соотношением

, (9.6)

которое следует из уравнения (9.4) при фиксированном времени t.

Нетрудно заметить, что в случае стационарной голономной связи виртуальные перемещения совпадают с возможными. Действительно, уравнение стационарной связи имеет вид:

, (9.7)

поэтому , и уравнение (9.5), определяющее возможные перемещения, совпадает с уравнением (9.6), определяющим виртуальные перемещения.

Различие между возможными и виртуальными перемещениями для случая нестационарной связи рассмотрим на следующем примере. Пусть эта связь представляет собой поверхность, которая перемещается относительно неподвижной системы отсчета, не деформируясь. Тогда рассматриваемая точка участвует в двух движениях: относительном (движение по поверхности) и переносном (вместе с поверхностью). Таким образом, траектория абсолютного движения точки лежит вне поверхности, а вектор возможного перемещения направлен по касательной к этой траектории (рис. 9.4). Вектор виртуального перемещения направлен по касательной к траектории относительного движения, лежащей на поверхности, так как при определении виртуального перемещения время фиксируется и переносное перемещение отсутствует.

9.4. Число степеней свободы системы и обобщенные

координаты

Виртуальным перемещением механической системы называют любую совокупность виртуальных перемещений ее точек, допускаемую всеми наложенными на систему связями. Система имеет множество различных виртуальных перемещений, из которых можно выбрать независимые между собой перемещения, а через них выразить любое виртуальное перемещение. Число независимых между собой виртуальных перемещений механической системы называют еечислом степеней свободы.

Рассмотрим систему из Nматериальных точек, подчиненнуюdголономным связям. Положение системы определяется 3N декартовыми координатами ее точек, из которых независимыми будутs = 3N – d. Для голономной системы число независимых координат совпадает с числом степеней свободы.

В качестве независимых координат не обязательно выбирать декартовы координаты точек системы. Ее положение можно однозначно определить с помощью любых независимых между собой параметров. Их называют обобщенными координатами.

На рис. 9.5 показан кривошипно-шатунный механизм, расположенный в плоскости xOy. Положение механизма определяется его точкамиO, A, B.

Обозначим через rиlдлины кривошипаОA и шатуна ABи запишем уравнения связей, наложенных на систему:

;

.

Итак, количество связей d= 8, количество точек системыN= 3 и число стержней свободыs= 3N–d= 1. Выберем в качестве обобщенной координаты угол φ между кривошипом и положительным направлением осиxи определим изменяющиеся координаты точек системы:

.

Таким образом, обобщенная координата φ однозначно определяет положение системы.