Вопросы для самоконтроля

1. Чему равна сила инерции материальной точки?

2. Как сформулировать принцип Даламбера для материальной точки и механической системы?

3. В чем заключается метод кинетостатики?

4. Как записать уравнения метода кинетостатики для механической системы?

5. Чему равны главный вектор и главный момент сил инерции?

6. К какому простейшему виду можно привести силы инерции твердого тела в случаях его поступательного, вращательного и плоского движений?

Лекция 9.Элементы аналитической механики

9.1. Вступление

Рассмотренные в предыдущих лекциях общие теоремы динамики и полученные из них следствия позволяют решать большинство задач динамики механической системы. Однако их применение вызывает и определенные трудности. Дело в том, что невозможно строго классифицировать задачи и указать, в каком случае какая теорема является наиболее эффективной. Кроме того, для решения некоторых задач нужно одновременно использовать несколько общих теорем, а также разбивать систему на части, вводя дополнительные неизвестные величины, определение которых не является необходимым.

Аналитическая механика изучает общие методы составления дифференциальных уравнений движения механической системы. Их интегрирование позволяет определить движение системы, являясь, таким образом, общим методом решения задач динамики.

Вначале рассмотрим принятую в аналитической механике классификацию связей.

9.2. Связи и их классификация

Систему материальных точек называютсвободной, если их координаты и скорости могут принимать произвольные значения. В противном случае систему называютнесвободной. Таким образом, на координаты и скорости точек несвободной системы наложены ограничения, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Эти ограничения называютсвязями, а уравнения, которым должны удовлетворять координаты и скорости точек несвободной системы, –уравнениями связей.

Пример 1.Две материальные точки, показанные на рис. 9.1, соединены нерастяжимым стержнем длинойl. Так как расстояние между точками не изменяется, уравнение связи имеет вид:

, (9.1)

где – декартовы координаты точек.

Пример 2.Рассмотрим конек, движущийся по поверхности льда. Пусть он имеет выпуклое лезвие, которое касается льда в одной точкеА(рис. 9.2). Зададим положение конька тремя координатами:. Будем считать, что точкаАне проскальзывает в направлении, перпендикулярном лезвию, тогда ее скоростьнаправлена вдоль лезвия и справедливо соотношение

,

из которого получим уравнение связи

. (9.2)

Связи, в уравнения которых время явно не входит, называют стационарными (примеры 1 и 2). Если же время явно входит в уравнение связи, то ее называютнестационарной.

Геометрическиминазывают связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы и, может быть, время (пример 1). Если, кроме того, в уравнения связей входят первые производные от координат по времени, то связи называютдифференциальными(пример 2).

Геометрические связи и те дифференциальные связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы, называют голономными (пример 1). Дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы, называютнеголономными (пример 2).

По виду связей механические системы разделяют на голономные и неголономные. Голономной называют механическую систему, на которую наложены только голономные связи. В противном случае, т.е. если хотя бы одна связь является неголономной, систему называют неголономной.

И, наконец, связи могут быть удерживающимиинеудерживающими. Удерживающие связи описывают уравнениями (примеры 1,2), а неудерживающие – неравенствами.

Пример 3.Рассмотрим две материальные точки, соединенные нерастяжимой нитью длинойl(рис. 9.3). Так как расстояние между точками не может превысить длину нити, выполняется неравенство

, (9.3)

описывающее данную неудерживающую связь.

Таким образом, связь имеет три характеристики:

1) стационарная или нестационарная,

2) голономная или неголономная,

3) удерживающая или неудерживающая.

Например, связь из примера 2 является стационарной, неголономной и удерживающей.

Далее будем рассматривать только голономные удерживающие связи.