8.5. Приведение сил инерции точек твердого тела

к простейшему виду

Главный вектор сил инерции не зависит от выбора центра приведения и при любом движении тела может быть определен соотношением (8.12). Определим главный момент сил инерции для некоторых случае движения твердого тела.

8.5.1. Поступательное движение

При поступательном движении тела ускорения всех его точек в данный момент времени одинаковы и равны ускорению центра масс (рис. 8.2).

Сила инерции материальной точкимассойбудет равна

.

Выберем в качестве центра приведения центр масс тела и вычислим главный момент сил инерции

так как радиус-вектор центра масс относительно центра масс равен нулю.

Таким образом, при поступательном движении тела силы инерции его точек приводятся к равнодействующей, условно приложенной в центре масс тела и равной главному вектору сил инерции .

8.5.2. Вращение вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, имеющее плоскость материальной симметрии и вращающееся вокруг неподвижной осиz, перпендикулярной этой плоскости и не проходящей через центр масс телаС, как показано на рис. 8.3. Приведем силы инерции к центруО, в котором ось вращения пересекает плоскость симметрии. Тогда, вследствие симметрии тела, сила и пара сил, к которым приводят силы инерции, лежат в плоскости симметрии. Сила равна главному вектору сил инерции. Момент пары силнаправлен перпендикулярно плоскости симметрии, т.е. вдоль оси вращения, противоположно вектору углового ускорения. Его проекцию на ось вращения получим из формул (8.13) и (6.9)

(8.14)

где – момент инерции тела относительно оси вращения.

Если ось вращения проходит через центр масс тела (см. рис. 8.3, ось ), то ускорение центра масси главный вектор сил инерции. Силы инерции в этом случае эквивалентны паре сил, проекция момента которой

. (8.15)

8.5.3. Плоское движение

Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии и движется так, что эта плоскость все время совпадает с некоторой неподвижной плоскостью П (рис. 8.4). Разложим движение тела на поступательное, определяемое движением центра масс С, и вращательное вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости симметрии. Силы инерции поступательного движения приведем к силе, приложенной в центре массС, а силы инерции вращательного движения – к паре сил, лежащей в плоскости симметрии. Проекция момента этой пары на ось:

.

Пример 2. Падая, грузАвесомРразматывает нерастяжимый трос, намотанный на барабан (рис. 8.5).

Определить составляющие реакции жесткой заделки Си ускорение груза, считая барабан однородным цилиндром весомQи пренебрегая весом троса и консольной балки, а также трением в подшипниках, еслиВС=b.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из балки ВС, барабана и грузаА. На нее действуют внешние силы: силы тяжести барабанаи груза, а также реакция жесткой заделкиС, которую представим составляющими. Добавим к ним силы инерции, которые для поступательно движущегося груза приведем к силе, а для барабана, имеющего плоскость материальной симметрии и вращающегося вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через его центр масс, – к паре сил, момент которой. Определим модули силы и пары сил инерции:

,

где а – ускорение груза; ε – угловое ускорение барабана, ε =а/R.

В соответствии с принципом Даламбера полученная плоская система сил уравновешена. Запишем для нее три уравнения равновесия:

(8.16)

(8.17)

(8.18)

Для определения ускорения груза Арассмотрим систему, состоящую из барабана и груза (рис. 8.6), на которую действуют реакции подшипников, а также перечисленные ранее силы тяжести и силы инерции.

Запишем одно уравнение равновесия

(8.19)

Преобразуем уравнение (8.19) к виду:

,

откуда . Из уравнения (8.17) получим

Вычтем из уравнения (8.18) уравнение (8.19):

Таким образом, неизвестные величины определены:

.