7.5. Теорема об изменении кинетической энергии

материальной точки

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием системы сил, и запишем для нее основное уравнение динамики (1.2)

.

Умножим скалярно обе части этого равенства на вектор элементарного перемещения точки

. (7.25)

Преобразуем левую часть полученного уравнения

.

Учитывая, что в правой части уравнения (7.25) произведения представляют собой элементарные работы сил, получим

.

Разделим это равенство на величину и с учетом (7.14) запишем

. (7.26)

Соотношение (7.26) позволяет сформулировать теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна сумме мощностей всех действующих на нее сил.

Интегрируя равенство (7.26), получим

, (7.27)

где – значения кинетической энергии в конечном и начальном положениях точки. Таким образом, доказанатеорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме.Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Пример 2.ГрузВмассойm, прикрепленный к концу недеформированной пружины жесткостьюc, получив начальную скорость, движется вверх по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 7.14,а).

Определить начальную скорость груза, если максимальная деформация пружины равна S, а коэффициент трения равенf.

Примем груз за материальную точку и покажем действующие на него силы: силу тяжести , нормальную реакцию плоскости,

силу трения и силу упругости пружины(рис. 7.14,б). Рассмотрим изменение кинетической энергии груза на перемещении, равном максимальной деформации пружины. В соответствии с уравнением (7.27) получим

, (7.28)

где конечная скорость груза , а работы сил определим по формулам (7.16), (7.21) и (7.17):

;

;

;

,

где – начальная и конечная деформации пружины. Так как, то получим, что. Теперь из уравнения (7.28) определим начальную скорость груза

;

.

7.6. Теорема об изменении кинетической энергии

механической системы

Рассмотрим некоторое перемещение системы, состоящей из Nматериальных точек, и запишем для каждой из них соотношение (7.27)

, (7.29)

где – суммы работ внешних и внутренних сил, действующих наj -ю точку системы. Сложим почленно уравнения (7.29)

. (7.30)

Учитывая, что

где и– значения кинетической энергии системы в начальном и конечном положениях, из равенства (7.30) получим

. (7.31)

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии системыв интегральной форме.Изменение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы, на том же перемещении.

Положим в уравнении (7.31) , гдеТ– кинетическая энергия системы в текущем положении, и продифференцируем его по времени. Тогда, учитывая (7.15), где, получим

. (7.32)

Таким образом, получена дифференциальная форма теоремы.Производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы.

Соотношения (7.31) и (7.32), в отличие от ранее рассмотренных общих теорем динамики, описывают зависимость изменения кинетической энергии от внутренних сил. Однако чаще всего механические системы моделируют твердыми телами, соединенными между собой с помощью внутренних связей. Их реализуют в виде шарниров без трения, гибких нерастяжимых нитей или осуществляют за счет относительного качения без проскальзывания. Такие системы называют неизменяемыми. Сумма работ (и мощностей) внутренних сил неизменяемой системы равна нулю, а соотношения (7.31) и (7.32) принимают вид:

; (7.33)

. (7.34)

Пример 3.Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, начинает движение из состояния покоя под действием сил тяжести (положение слева, рис. 7.15). Груз 1, опускаясь вниз, приводит в движение шкив 2 и шарнирно с ним связанный шатун 3, а ползун 4 движется вдоль вертикальных направляющих.

Определить скорость груза 1 в момент, когда шкив повернулся на угол π рад (положение справа, рис. 7.15), считая шкив однородным цилиндром радиусомR, а шатун – однородным стержнем;

r= 0,5R. Массы тел принять следующими:. Сопротивлением движению пренебречь.

Так как система состоит из твердых тел, соединенных шарнирами без трения и гибким нерастяжимым тросом, массой которого пренебрегаем, сумма работ внутренних сил равна нулю. Движение системы начинается из состояния покоя, поэтому начальная кинетическая энергия и из уравнения (7.33) получим

. (7.35)

Кинетическая энергия системы в конечном положении равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в состав системы

. (7.36)

Груз 1 движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси. Их кинетические энергии:

. (7.37)

Ползун 4 также движется поступательно, но в конечном положении системы (см. рис. 7.15, справа) занимает крайнее нижнее положение, поэтому его скорость и кинетическая энергия. Точкаявляется мгновенным центром скоростей шатуна 3, совершающего плоское движение. Его кинетическую энергию определим по формуле (7.5)

. (7.38)

Моменты инерции шкива 2 и шатуна 3 (однородных тел) вычислим по формулам (4.15) и (4.13):

, (7.39)

где l– длина шатуна.

Угловая скорость шкива , скорость точкиА

.

Угловая скорость шатуна

.

Из формул (7.36)-(7.39) получим

. (7.40)

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. Это силы тяжести , реакция оси шкива, которую представим составляющими, и нормальная реакциягладких направляющих ползуна. Из них работу не совершают силы, приложенные в неподвижной точкеО, и сила, направленная перпендикулярно перемещению точкиВ. Таким образом, сумма работ внешних сил

. (7.41)

Работы сил тяжести определим по формуле (7.16):

;

;

.

Вычислив перемещения центров тяжести тел , получим сумму работ внешних сил

. (7.42)

Теперь, подставив (7.40) и (7.42) в уравнение (7.35), вычислим скорость груза 1

.