7.3. Работа силы и ее мощность

Для количественного описания результата действия силы при перемещении точки ее приложения используют понятие работы силы. Пусть точка приложения силыполучила элементарное перемещение(рис. 7.6). Элементарная работа силы – это скалярная мера ее действия, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки ее приложения

. (7.9)

Штрих в обозначении элементарной работы используют в связи с тем, что она в общем случае не является полным дифференциалом некоторой функции координат точки приложения силы.

Единица измерения работы в системе СИ – 1 = 1 Дж.

Введем в рассмотрение скорость точки приложения силыи обозначим через α угол между векторамии. Тогда, учитывая, что, из равенства (7.9) получим

. (7.10)

Таким образом, элементарная работа силы при ив зависимости от угла α может быть как положительной, так и отрицательной, а также равной нулю.

Обозначим проекции силы на координатные осиx,y,zчерез, а проекции вектора элементарного перемещенияна те же оси – через, тогда элементарная работа

. (7.11)

Теперь рассмотрим конечное перемещение точки приложения силы, при котором она движется по дуге(рис. 7.7), и будем считать, что сила зависит только от координат этой точки. Работа силы на перемещениибудет равна криволинейному интегралу от элементарной работы:

. (7.12)

Если известен закон движения точки

,

то, заменяя в уравнении (7.12) проекции силы известными функциями времении учитывая, что

,

приходим к определенному интегралу

, (7.13)

где и– моменты прохождения точки приложения силы через точкии.

Мощность силы определим как скорость изменения работы в данный момент времени

, (7.14)

т.е. мощность силы – это величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. Теперь формулу (7.13) можно переписать в виде:

. (7.15)

Единица измерения мощности в системе СИ – 1 Вт = 1 Дж/с.

7.4. Определение работ некоторых сил

Далее рассмотрим соотношения, позволяющие вычислять работу наиболее часто встречающихся сил.

7.4.1. Работа силы тяжести

Предположим, что центр масс Снекоторого тела перемещается из положенияв положение(рис. 7.8), причем размеры самого тела и траекториималы по сравнению с радиусом Земли и тело движется вблизи ее поверхности. В этом случае модуль и направление равнодействующей сил тяжестипостоянны, а центр масс совпадает с центром тяжести.

Введем координатную систему Oxyz, направив осьzвертикально вверх. Запишем проекции силы тяжести на осиx, y, z:

,

аее элементарную работу определим по формуле (7.11)

,

откуда получим полную работу

.

Обозначив вертикальное перемещение центра тяжести через , найдем

, (7.16)

где знак «плюс» соответствует перемещению центра тяжести вниз , знак «минус» – перемещению вверх. Если начальное и конечное положения центра тяжести находятся на одной горизонтальной плоскости, то работа силы тяжести равна нулю.

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от вида траектории центра тяжести тела и может быть определена только его вертикальным перемещением.

7.4.2. Работа силы упругости

Пусть груз М, соединенный с пружиной, другой конец которой закреплен неподвижно (рис. 7.9), перемещается из положенияв положениевдоль оси пружины, по которой направим осьх. За начало координат примем положение конца недеформированной пружины, тогда координатахравна деформации пружины.

На груз действует сила упругости пружины , ее проекции на координатные оси:, гдес– жесткость пружины. Элементарная работа силы упругости в соответствии с формулой (7.11)

,

полная работа на рассматриваемом перемещении

, (7.17)

где – начальная и конечная деформации пружины.

Из полученной формулы следует, что работа силы упругости положительна, если начальная деформация больше конечной по модулю, и отрицательна в противном случае. Она зависит только от начального и конечного положений груза М.

7.4.3. Работа силы, приложенной к твердому телу,

вращающемуся вокруг неподвижной оси

Пусть к точке Мтвердого тела, вращающегося вокруг неподвижной осиOzcугловой скоростью, приложена сила(рис. 7.10). Элементарная работа этой силы:

. (7.18)

Введем радиус-вектор точкиМотносительно точкиО, лежащей на оси вращения, тогда скорость точкиМ можно определить по формуле Эйлера

.

Преобразуем формулу (7.18), используя свойство смешанного произведения векторов

.

Но так как произведение

– это момент силы относительно точкиО,

.

Учтем, что

–

момент силы относительно осиz, а – элементарный угол поворота тела, потому

. (7.19)

Таким образом, элементарная работа равна произведению момента силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела. Работа силына конечном перемещении тела

. (7.20)

Если , то

, (7.21)

т.е. работа равна произведению момента силы относительно оси вращения на угол поворота тела.

7.4.4. Работа постоянной силы

Рассмотрим перемещение точки приложения постоянной силыпо дуге(рис. 7.11). Радиус-векторыиопределяют начало и конец траектории относительно неподвижной точкиО.

Для определения работы силы используем формулу (7.13), где положим,

.

Учитывая, что , окончательно получим

, (7.21)

т.е. для постоянной силы работа вычисляется так же, как и при прямолинейном перемещении точки ее приложения вдоль хорды, стягивающей дугу .

7.4.5. Работа внутренних сил твердого тела

Рассмотрим точки итвердого тела, которые действуют друг на друга с силамии(рис. 7.12), причем по закону равенства действия и противодействия.

Пусть точки иполучили элементарные перемещенияи. Вычислим сумму элементарных работ

,

где – скорости точеки.

В соответствии с теоремой о проекциях скоростей двух точек твердого тела и. Так как каждой внутренней силе соответствует другая сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению, сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю. Конечное перемещение тела складывается из его элементарных перемещений и поэтому сумма работ всех внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю

.

7.4.6. Работа сил сопротивления качению

Рассмотрим цилиндрический каток, который движется по горизонтальной плоскости без скольжения (рис. 7.13). Возникновение сопротивления качению связано с деформациями соприкасающихся поверхностей, из-за чего линия действия нормальной составляющей равнодействующей реактивных сил оказывается смещенной в сторону движения катка на некоторое расстояние δ от линии действия силы тяжести. Силы (,) образуют пару сил сопротивления качению. Момент этой пары называютмоментом сопротивления качению. Его модуль равен произведению модуля нормальной реакции на плечо пары δ, называемоекоэффициентом трения качения

. (7.22)

Этот коэффициент измеряется в единицах длины.

Пусть центр катка получил элементарное перемещение , тогда каток повернулся на уголи элементарная работа пары сил сопротивления качению

. (7.23)

При конечном перемещении центра катка на расстояние работа сил сопротивления качению

. (7.24)

Элементарная работа горизонтальной составляющей равнодействующей реактивных сил (силы сцепления ), которую можно считать приложенной в мгновенном центре скоростей каткаР, равна нулю, так как скорость этой точкии ее элементарное перемещение. Поскольку полная работа равна сумме элементарных работ, приходим к следующему выводу: сила сцепления в рассмотренном случае качения без скольжения работу не совершает.