7.2. Кинетическая энергия твердого тела

Получим формулы для определения кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения.

7.2.1. Поступательное движение

При этом виде движения скорости всех точек тела одинаковы(рис. 7.2). Из формулы (7.2) следует

, (7.3)

где m– масса тела.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

7.2.2. Вращательное движение

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω скорость точки (рис. 7.3), находящейся на расстоянииот оси вращения,. Из формулы (7.2) получим

.

Здесь– момент инерции тела относительно оси вращения.

Теперь окончательно запишем

, (7.4)

т.е. кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения его момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

7.2.3. Плоское движение

Пусть фигура движется в плоскости xOyс угловой скоростью ω, а ее мгновенный центр скоростей (м.ц.с.) находится в точкеР(рис. 7.4). Тогда скорость точки, находящейся на расстоянииот м.ц.с., будет равна.

Из формулы (7.2) получим

,

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через м.ц.с. перпендикулярно плоскости движения.

Таким образом, кинетическая энергия тела при его плоском движении

. (7.5)

Непосредственное использование этой формулы осложнено тем, что момент инерции в общем случае является переменной величиной. Это связано с изменением положения м.ц.с. плоской фигуры в процессе ее движения.

Таким образом, кинетическая энергия тела при его плоском движении

. (7.5)

Непосредственное использование этой формулы осложнено тем, что момент инерции в общем случае является переменной величиной, Это связано с изменением положения м.ц.с. плоской фигуры в процессе ее движения.

Поэтому получим другое соотношение, содержащее постоянный момент инерции, для чего проведем через центр масс Сплоской фигуры осьи используем формулу (4.12)

. (7.6)

Из формул (7.5) и (7.6) следует

.

Ось не изменяет свое положение относительно тела, поэтому момент инерцииостается постоянным. Учитывая, что скорость центра масс, окончательно получим

. (7.7)

Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения.

Пример 1.Определить кинетическую энергию круглого однородного цилиндра, который катится без скольжения по неподвижной плоскости (рис. 7.5). Масса цилиндра равнаm, скорость его центра масс. Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точкеPкасания цилиндра и неподвижной плоскости, поэтому его угловая скорость

.

Момент инерции цилиндра относительно продольной оси . Из формулы (7.7) получим

. (7.8)