5.6. Теорема Эйлера

Остановимся на применении теоремы об изменении количества движения к сплошной среде. Выделим объем несжимаемой жидкости, ограниченный в момент времени tбоковой поверхностью трубы переменного сечения и двумя плоскими поперечными сечениями, площади которыхи(рис. 5.4). Обозначим черезисредние скорости частиц жидкости, протекающей через эти сечения, а через ρ – плотность жидкости. При установившемся движении масса жидкости, протекающей через любое сечение трубы в единицу времени, постоянна:

.

Эту массу называют секундной массой.

Пусть за промежуток времени dtвыделенный объем жидкости переместился и занял положение между сечениямии. Определим изменение количества движения объема за времяdt. Обозначим черезколичества движения жидкости, заключенной между сечениямии,и,исоответственно. Теперь определим количества движения в моменты времениt иt +dt:,, а также изменение количества движения

,

где , откуда . Разделив последнее выражение наdt, получим

. (5.19)

Произведения и называютсекундными количествами движения жидкостив сеченияхи.

Внешние силы, действующие на выделенный объем жидкости, можно разделить на объемные и поверхностные. Объемныминазывают силы, действующие на каждую частицу жидкости, независимо от того, находится ли она внутри выделенного объема или на его поверхности. К объемным относят, например, силы тяжести частиц жидкости.Поверхностныминазывают силы, действующие только на частицы, лежащие на поверхности выделенного объема. Это силы давления стенок трубы на жидкость, силы трения жидкости о стенки трубы.

Обозначим через иглавные векторы объемных и поверхностных внешних сил и, используя дифференциальную форму теоремы об изменении количества движения, запишем

. (5.20)

Приравнивая правые части (5.19) и (5.20), получим

или

. (5.21)

Это равенство является математической записью теоремы Эйлера:Сумма главных векторов объемных и поверхностных внешних сил, а также секундных количеств движения жидкости, протекающей через два поперечных сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств движения направить внутрь выделенного сечениями объема.

Пример 3.По трубе диаметромd, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей изогнутое под прямым углом колено, течет вода со скоростьюv(рис. 5.5).

Определить горизонтальные составляющие главного вектора реакций стенок изогнутой части трубы.

Объемные силы – это силы тяжести, перпендикулярные горизонтальной плоскости xy; поверхностные – реакции стенок трубы;– составляющие главного вектора реакций стенок. Направим векторы секундных количеств движенияивнутрь выделенного объема и запишем уравнение (5.21) в проекциях на координатные осиxиy

где , поэтомуи;;– плотность воды, откуда. Так как, горизонтальная составляющая главного вектора реакций стенок изогнутой части трубы направлена вдоль осиx.

Пример 4.Струя жидкости плотностью ρ, вытекающая со скоростьюvиз трубы, площадь поперечного сечения которой равна σ, встречает на своем пути вертикальную стену (рис. 5.6).

Определить силу давления жидкости на стену, если ось трубы составляет со стеной угол α.

Этот пример может быть решен, как и предыдущий, как с помощью теоремы Эйлера, так и с использованием интегральной формы теоремы об изменении количества движения.

Рассмотрим интервал времени τ, в течение которого частица жидкости проходит расстояние от конца трубы до стены. Пренебрегая влиянием силы тяжести на форму струи, выделим объем жидкости, вытекающей из трубы за время τ. Масса этой жидкости . На нее действуют внешние силы: направленная вертикально вниз сила тяжести, реакция стены, перпендикулярная стене, и давление той части жидкости, которая соприкасается с выделенным объемом (это давление ввиду его малости учитывать не будем).

Запишем выражение для проекции количества движения рассматриваемого объема жидкости в начальный момент временина осьх:

.

В момент времени частицы выделенного объема жидкости будут иметь скорости, направленные вдоль стены, поэтому проекция количества движения, проекция импульса реакциина осьх:, а проекция импульса силы тяжести равна нулю. Используем 1-е уравнение (5.18), из которого получим

или,

откуда определим модуль реакции стены . Искомая сила давления жидкости направлена противоположно реакциии равна ей по величине.