5.5. Теорема об изменении количества движения

механической системы

Рассмотрим систему из Nматериальных точек, для каждой из которых запишем основное уравнение динамики

.

Сложим почленно все уравнения

. (5.13)

По 1-му свойству внутренних сил . Преобразуя левую часть уравнения (5.13)

,

получим

, (5.14)

где – главный вектор внешних сил системы.

Таким образом, доказана теорема об изменении количества движения системыв дифференциальной форме:Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме (главному вектору)всех внешних сил, действующих на систему.

Векторному уравнению (5.14) соответствуют три уравнения в проекциях на координатные оси:

. (5.15)

Из теоремы вытекают такие следствия:

1) внутренние силы не влияют непосредственно на изменение количества движения механической системы. Следует заметить, что внутренние силы не входят в уравнения (5.14) и (5.15), однако они могут вызывать внешние силы, действующие на систему, и тем самым оказывать косвенное влияние на изменение ее количества движения;

2) если главный вектор внешних сил на рассматриваемом промежутке времени равен нулю, то количество движения системы остается постоянным. Действительно, если , то из уравнения (5.14) следует, что, откуда;

3) если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось на рассматриваемом промежутке времени равна нулю, то проекция количества движения системы на эту же ось остается постоянной. Так, например, если , то из 1-го уравнения (5.15) получим

, т.е..

Следствия 2 и 3 выражают закон сохранения количества движения системы.

Пример 2.ГрузАудерживается на наклонной плоскости неподвижного клинаВс помощью троса. После того, как трос был перерезан, груз начал двигаться по этой плоскости, наклоненной к горизонту под углом α (рис. 5.3).

Пренебрегая трением, определить зависимость скорости клинаvот скорости грузаотносительно клина, если массы груза и клина равныи.

На систему, состоящую из груза Аи клинаВ, действуют внешние силы:,– силы тяжести груза и клина,– нормальная реакция гладкой горизонтальной плоскости. Все они перпендикулярны горизонтальной осих, поэтому проекция главного вектора внешних сил на эту ось равна нулю. Из следствия 3 получим, что, т.е. проекция количества движения системы на осьхне изменяется и, следовательно, равна своему начальному значению:. Но вначале система была неподвижна, т.е., и поэтому в любой момент времени.

Определим количество движения системы

, (5.16)

где – абсолютные скорости груза и клина,. Здесь– относительная скорость груза,;– переносная скорость,. Поэтомуи из уравнения (5.16) получим

.

Спроецируем это векторное выражение на ось хи приравняем его нулю

,

откуда получим

.

Отрицательное значение проекции показывает, что действительное направление вектора противоположно тому, которое изображено на рис. 5.3, т.е. клинВдвижется влево.

Преобразуем уравнение (5.14), умножив обе его части на dt, и проинтегрируем в пределах, соответствующих моментам времени,

.

Интегралы в правой части этого равенства представляют собой импульсы внешних сил, поэтому, интегрируя его левую часть, запишем

, (5.17)

где .

Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения системыв интегральной форме:Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсоввсех внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Векторное уравнение (5.17) эквивалентно трем уравнениям в проекциях на координатные оси:

;

; (5.18)

.